No reino da bicharada e outros problemas

1No livro “Elementos de Álgebra, publicado em 1770, o matemático suiço Leonhard Euler, 1707 - 1783 – propôs o seguinte problema:
Uma lebre está 50 pulos à frente de um cachorro, o qual dá 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendo que 2 pulos do cachorro valem 3 da lebre, quantos pulos ele deve dar para pegá-la?

Solução:

Acompanhem o seguinte raciocínio simples:
Se 2 pulos do cachorro equivalem a 3 pulos da lebre então é óbvio que 1 pulo do cachorro será equivalente a 1,5 pulos da lebre.
Logo, 3 pulos do cachorro será equivalente a 3 x 1,5 = 4,5 pulos da lebre.

Então, a cada seqüência de 3 pulos do cachorro, ele se aproxima 4,5 – 4 = 0,5 pulo (da lebre).
Como a distancia inicial entre eles é igual a 50 pulos (da lebre), o cachorro para vencer a distância deverá dar 50 / 0,5 = 100 seqüências de 3 pulos(do cachorro), ou seja 100 x 3 = 300 pulos.
Resposta: o cachorro deverá dar 300 pulos.

2 Um rato sai correndo e quando deu 200 pulos o gato parte ao seu encalço. Enquanto o gato dá 3 pulos, o rato dá 11 pulos, porém 2 pulos do gato valem 9 do rato. Quantos pulos o gato deverá dar para alcançar o rato?

Solução:

Acompanhem o seguinte raciocínio simples, similar ao anterior:
2 pulos do gato = 9 pulos do rato. Daí, é claro que:
1 pulo do gato = 4,5 pulos do rato e,
3 pulos do gato = 3 x 4,5 = 13,5 pulos do rato
Em cada seqüência de 3 pulos, o gato se aproxima 13,5 – 11 = 2,5 pulos (do rato).
Como a distancia entre eles é de 200 pulos (do rato), o gato, para vencer a distancia, deverá dar 200/2,5 = 80 seqüências de 3 pulos,
ou seja: 80 x 3 = 240 pulos.
Resposta: o gato deverá dar 240 pulos.

Agora resolva este:
Um gato persegue um rato; enquanto o rato dá 5 pulos, o gato dá 3, porém 1 pulo do gato equivale a 2 pulos do rato. O rato leva uma dianteira equivalente a 50 pulos do gato. Quantos pulos o gato deverá dar para alcançar o rato?
Resposta: o gato deverá dar 300 pulos.

3 Se 0 < k < 1, então o valor da expressão

   é igual a:

a) 0 
b) 1  
c) 2   
d) 2/k  
e) k

Solução:

Observe que pela condição dada para k, ele é um número real entre 0 e 1, e por conseqüência  k + 1 > 0  e  k – 1 < 0.
Observe também que k² + 2k + 1 = (k + 1)²   e    k² – 2k + 1 = (k – 1)²

Substituindo na expressão dada fica:

Se necessário, verifique a definição de módulo de um número real.
Ora, da definição de módulo infere-se que,  como k + 1 é positivo |k + 1| = k + 1  e como k – 1 é negativo, |k – 1| = – (k – 1) = – k + 1.
Substituindo novamente, fica:

Notas:

1 – observe que k está situado entre 0 e 1 e portanto, é diferente de zero, o que torna possível dizer que 2k / k = 2.  Portanto, a alternativa correta é a de letra C.
2 – se k fosse igual a zero, teríamos 2k / k = 0 / 0 e não poderíamos neste caso afirmar que o resultado seria 2, pois 0/0 poderia assumir qualquer valor. O símbolo 0/0 é conhecido como uma indeterminação matemática.
3 – esta questão simples foi enviada por um estudante que achou a solução 2/k por não ter observado corretamente as propriedades da função módulo.

Agora resolva este:

Se k < –1, então o valor da expressão

a) 0  b) 1   *c) -2/k    d) 2/k   e) k

4 UESB 2007.1 – Um cliente pagou 40 % de uma dívida de x reais. Sabendo-se que R$300,00 correspondem a 20 % do restante a ser pago, é correto afirmar que o valor de x é igual a
(01) 3750
(02) 3000
(03) 2750
(04) 2500
(05) 2050
Nota: UESB – Universidade Estadual do Sudoeste Baiano

Solução:

Sendo x o valor total da dívida, como foi pago 40% de x, restou (100% - 40%) de x ou seja: 60% de x = 60% . x = 0,60x.
Pelo enunciado, 20% do restante é igual a 300, ou seja: 20 % de 60% de x = 0,20 . 0,60 . x = 0,12x = 300. Logo,
x = 300 / 0,12 = 30000 / 12 = 15000 / 6 = 5000 / 2 = 2500.


5 UESB 2007.1 –Em uma campanha de Natal foram distribuidos entre algumas famílias de uma comunidade, 144 brinquedos, 192 pares de sapatos e 216 camisas. A distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fossem contempladas e todas recebessem o mesmo número de brinquedos, o mesmo número de pares de sapatos e o mesmo número de camisas. Considerando-se que cada família recebeu x brinquedos e y pares de sapatos, pode-se afirmar que o valor de x + y é igual a:
01) 24
02) 14
03) 12
04) 8
05) 6

Solução:
Trata-se de um problema típico de aplicação do MDC - Máximo Divisor Comum. Ora, MDC(144, 192, 216) = 24. Então, serão 144/24 = 6 brinquedos, 192/24 = 8 pares de sapatos e 216/24 = 9 camisas para cada família. Do enunciado da questão infere-se então x = 6 e y = 8 e, portanto, x + y será igual a 14, o que nos leva à alternativa (02). Se você quiser revisar MDC, visite o arquivo Máximo Divisor Comum. Para retornar a esta página, clique em VOLTAR no seu navegador.


6 – Um rato está 30 metros à frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8 metros, o gato corre 11 metros. Qual a distância que o gato terá de percorrer para alcançá-lo?

Solução:
Seja g a distância percorrida pelo gato num tempo t e seja r a distância percorrida pelo rato no mesmo intervalo de tempo.
Poderemos escrever: g = 11t e r = 30 + 8t. O gato encontrará o rato quando g = r, ou seja: 11t = 30 + 8t. Daí vem, 11t - 8t = 30 ou seja, 3t = 30, de onde tiramos t = 10. Substituindo em g = 11t vem, finalmente: g = 11.10 = 110 metros.
Resposta: o gato alcançará o rato a 110 metros do ponto de partida.

7 – Um gato está 72 metros à frente de um cachorro que o persegue. Enquanto o gato corre 7 metros, o cachorro corre 9 metros. Quantos metros o cachorro deverá percorrer até ficar a 12 metros do gato?

Solução:
Sendo g a distância percorrida pelo gato num tempo t, poderemos escrever: g = 72 + 7t. Analogamente, sendo c a distância percorrida pelo cachorro no mesmo tempo t, vem: c = 9t. Ora, o cachorro estará a 12 metros do gato quando g - c = 12 ou seja: (72 + 7t) - 9t = 12. Daí vem, 72 - 2t = 12 ou 2t = 60; portanto t = 60/2 = 30.
Substituindo este valor em c = 9t vem finalmente: c = 9.30 = 270.
Resposta: o cachorro estará a 12 metros do gato após ter percorrido 270 metros. Faça as contas para saber que o cachorro alcançará o pobre gato após ter percorrido 324 metros. Aí será briga na certa!

Nota: aqui em casa - nestas férias de janeiro 2012, a cadela "dalila" (de Eduardo - meu filho, em férias) e o gato "pacheco" - residente aqui já há algum tempo, brigam de fazer dó! Por enquanto, o "pacheco" está sofrendo fragorosa derrota! rarará...

Paulo Marques, 16 de janeiro de 2007 - editado em 08 de janeiro de 2012.

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