Lógica Matemática II

Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de uma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem.

p	q	pÙ q	pÚ q	p® q	p« q
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V
valor lógico falso = 0 ou F

Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjunção pÙ q, a disjunção pÚ q e a bicondicional  p« q, ou seja:
A conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras.
A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas.
A bicondicional "p se e somente se q" só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos.

Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas:

p	q	p® q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise:
Se é dada uma proposição p e for possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra proposição q, consideraremos que p® q é verdadeira.
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:

1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p® q é verdadeira.

2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso, p® q é falsa.

3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 15 = 15 (valor lógico V)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p® q é verdadeira

4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 19 = 9 (valor lógico F)

Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a proposição q dada. Logo, p® q é verdadeira (V).

Exercícios:

1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r: (pÙ ~ q) ® q ?

Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V .
r: (V Ù V) ® F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V ® F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.

2) Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.
b) a soma de dois números pares é um número par e 7² = 49.
c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado.
d) se 10² = 100 então todo número inteiro é natural.
e) 2 = 3² - 7 ou a Terra é plana.

Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 10² = 100 é V e "todo número inteiro é natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural) . Portanto, temos V ® F , que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).

Paulo Marques - Feira de Santana - BA.

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