Lógica Matemática III 1 - Tautologias e Contradições
Considere a proposição composta s: (pÙ q) ® (pÚ q) onde p e q são proposições simples
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:
p
q
pÙ q
pÚ q
(pÙ q) ® (pÚ q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição composta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira.Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.
Ex.: A proposição composta t: p Ù ~p é uma contradição, senão vejamos:
p
~p
pÙ ~p
V
F
F
F
V
F
NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas.
Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (pÙ q) Ú r
Teremos:
p
q
r
(pÙ q)
(pÙ q) Ú r
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição.
Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verificá-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades:
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS:
1) (pÙ q) ® p
2) p ® (pÚ q)
3) [pÙ (p® q)] ® q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens")
4) [(p® q) Ù ~q] ® ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.
NOTAS:
a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência.
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição.2 - Álgebra das proposições
Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades:
a) Leis idempotentes
pÙ p = p
pÚ p = pb) Leis comutativas
pÙ q = qÙ p
pÚ q = qÚ pc) Leis de identidade
p Ù v = p
p Ù f = f
p Ú v = v
p Ú f = pd) Leis complementares
~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação)
p Ù ~p = f
p Ú ~p = v
~v = f
~f = ve)Leis associativas
(pÙ q)Ù r = pÙ (qÙ r)
(pÚ q)Ú r = pÚ (qÚ r)f) Leis distributivas
pÙ (qÚ r) = (pÙ q) Ú (pÙ r)
pÚ (qÙ r) = (pÚ q) Ù (pÚ r)g) Leis de Augustus de Morgan
~(pÙ q) = ~p Ú ~q
~(pÚ q) = ~p Ù ~qh) Negação da condicional
~(p® q) = pÙ ~qTodas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.
Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h):
Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p® q) e de pÙ ~q :Tabela1:
p
q
p® q
~(p® q)
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
Tabela 2:
p
q
~q
pÙ ~q
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência
F V F F , o que significa que ~(p® q) = pÙ ~q .Exemplos.:
1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?
Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado" ?
Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ?
Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo"Paulo Marques - Feira de Santana - BA