| Potências e radicais - parte I |
1 – Potência de expoente natural
Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2,
definimos a n-ésima
(enésima) potência de a como sendo:
an =
a.a.a.a.a. … .a
onde o fator a é repetido n vezes, ou seja, o produto possui n
fatores.
Denominamos o fator a de base e n de expoente; an é a
n-ésima potência de a.
Portanto, potência é um produto de n fatores iguais.
A operação através da
qual se obtém uma potência, é denominada potenciação.
Exemplos:
72 = 7.7 = 49
25 = 2.2.2.2.2 = 32
63 = 6.6.6 = 216
107 = 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 (dez milhões)
106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000 (um milhão)
Nota:
Observe que a potência 10n é igual a 1 seguido de n zeros.
Assim, por exemplo, 1010 = 10000000000 (dez bilhões).
1.1 – Convenções:
a) potência de expoente zero
a0
= 1
Exemplos: 45670 = 1; 2430 = 1; (- 2001)0 = 1
b) potência de expoente unitário
a1
= a
Exemplos: 231 = 23; 20011
= 2001.
1.2 – As potências de expoente 2 e 3 recebem
nomes especiais, a saber:
a2 = a.a, é lido como a ao quadrado.
a3 = a.a.a, é lido como a ao cubo.
1.3 –
Propriedades das potências
São válidas as seguintes propriedades das potências de expoentes naturais,
facilmente demonstráveis:
P1) am
. an = am+n
Exemplo: 25.23
= 25+3 = 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256
P2) am
: an = am-n
Exemplo: 57:54
= 57-4 = 53 = 5.5.5 = 125
P3) (am)n
= am.n
Exemplo: (42)3
= 42.3 = 46 = 4.4.4.4.4.4 = 4096
P4) am.bm
= (a.b)m
Exemplo: 23.43
= (2.4)3 = 83 = 8.8.8 = 512
P5)
am:bm = (a:b)m
Exemplo: 124:34
= (12:3)4 = 44 = 4.4.4.4 = 256
P6)
a-n = 1/an
Exemplo: 5-2 = 1/52
= 1/5.5 = 1/25
Esta propriedade decorre de P2, ou
seja: a-n = a0/an = a0-n = a-n.
Nota: estas propriedades também são válidas para expoentes reais.
Exercício:
Calcule o valor da expressão a seguir:
A = {[(23.24 : 43)]5}-2
Desenvolvimento:
A = {[(27 : (22)3)]5}-2 =
{[27 : 26]5}-2 = {[21]5}-2
= 2-10 = 1/210
= 1/1024
2 -
Radicais
A forma mais genérica de
um radical é:
onde c = coeficiente,
n =
índice e A = radicando.
O radical acima é lido
como: c raiz n-ésima (enésima) de A.
Se n = 2, costuma-se não
representar o número 2 e lê-se como c raiz quadrada de A.
Se n = 3, lê-se o radical
como c raiz cúbica de A.
Exemplos:
que
é lido com 5 raiz cúbica de 25, onde 5 é o coeficiente, 3 é o índice e 25,
o radicando.
3Ö10
que é lido como 3 raiz quadrada de 10, onde 3 é o coeficiente, 2 (não
indicado, por convenção) é o índice e 10, o radicando.
2.1 - Potência de expoente fracionário
Exemplo:
A propriedade acima decorre de:
Seja x = am/n .
Podemos escrever: xn = (am/n)n e, daí, xn
= am de onde vem, extraindo-se a raiz n-ésima de ambos os membros:
2.2 –
Introduzindo o coeficiente num radical
Uma importante propriedade
dos radicais é a seguinte:
Exemplo:
Esta propriedade é
bastante útil também, para a simplificação de radicais, pois às vezes, a
depender do tipo de problema que está sendo abordado, pode tornar-se necessário
percorrer o caminho inverso. Assim, por exemplo,
2.3 – Raiz de raiz
Outra propriedade muito
importante dos radicais é a que segue:
Exemplo:
A operação
com radicais é denominada RADICIAÇÃO e, esta operação é a inversa da
POTENCIAÇÃO.
Isto decorre de:
Exemplos:
Como 2 elevado a 4 é igual a 16, dizemos que 2 é uma raiz quarta de 16.
Como 3 elevado a 2 é igual a 9, dizemos que 3 é uma raiz quadrada de 9.
Como 5 elevado a 3 é igual a 125, dizemos que 5 é uma raiz cúbica de 125, etc
CONTINUAR
Paulo
Marques, 28 de julho de 2001, Feira de Santana – BA.
VOLTAR