Domínio e conjunto imagem de uma função real de variável real

Já vimos no capítulo FUNÇÕES a definição de domínio (ou campo de definição) de funções reais de variável real.
Falamos acima em função real de variável real. Bem, o que significa exatamente isto?
Partindo-se da premissa que você já conhece o conceito de FUNÇÃO , podemos dizer que uma função 
f : A ® B, definida por y = f (x) é uma função real de variável real , quando os conjuntos A e B são subconjuntos de R ,
sendo R o conjunto dos números reais.

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Seja a função f: A ® B ; y = f (x) . 
Nestas condições, temos x Î A e y Î B. Os valores de x constituem o domínio da função f e os valores de y constituem o conjunto imagem da função f . O conjunto B é chamado contradomínio.



Nestas condições, determine o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções reais de variável real:

1 ) y = 1 + sqrt (x)
Nota: sqrt (x) = square root of x = raiz quadrada de x = Ö x

Observando que a raiz quadrada de x é um número real se e somente se x for positivo ou nulo, vemos que a condição de existência para y é que x ³ 0. Portanto, o domínio da função dada será 
D = {x Î R ; x ³ 0} = R ₊ (conjunto dos números reais não negativos).

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.

Teremos então: y – 1 = sqrt (x). Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 1 ³ 0 ou y ³ 1.
Portanto, o conjunto imagem da função é I_m = {y Î R; y ³ 1} = [1, ¥ ) ou seja, o conjunto dos 
números reais maiores ou iguais a 1.

2 ) y = 3 + sqrt (x – 5)
Neste caso, a condição de existência para y é que x – 5 ³ 0 ou seja, x ³ 5. O domínio da função dada será 
D = {x Î R ; x ³ 5} = [5 , ¥ ) , ou seja, o intervalo de todos os números reais 
maiores ou iguais a 5.

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.
Teremos então: y – 3 = sqrt (x – 5 ). Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 3 ³ 0 ou y ³ 3.
Portanto, o conjunto imagem da função é I_m = {y Î R; y ³ 3} = [3, ¥ ) ou seja, o conjunto dos 
números reais maiores ou iguais a 3.

3 ) y = 2 + sqrt (– x )
Neste caso, a condição de existência para y é que – x ³ 0. Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por – 1 , ela muda de sentido, ou seja, x £ 0. Portanto, o domínio da função será 
D = {x Î R ; x £ 0} = R _– (conjunto dos números reais não positivos).

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.
Teremos então: y – 2 = sqrt (– x). Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 2 ³ 0 ou y ³ 2.
Portanto, o conjunto imagem da função é I_m = {y Î R; y ³ 2} = [2, ¥ ) ou seja,
o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 2.

4 ) y = x / (2x – 6)
Aqui, a condição para a existência de y é que o denominador 2x – 6 seja diferente de zero, já que não existe divisão por zero. Portanto, 2x – 6 ¹ 0 ou seja, x ¹ 3 . Portanto, o domínio desta função é 
D = {x Î R; x ¹ 3} = R – {3}, ou seja, o conjunto de todos os números reais diferentes de 3.

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.
Vamos então, explicitar x em função de y. Teremos:
De y = x / (2x – 6), poderemos escrever: y(2x – 6) = x . Efetuando as operações indicadas, vem:
2xy – 6y = x \ 2xy – x = 6y \ x(2y – 1) = 6y \ x = 6y / (2y – 1).

Ora, como não existe divisão por zero, deveremos ter 2y – 1 ¹ 0 ou seja 2y ¹ 1 e, finalmente, y ¹ 1/2 . Portanto, o conjunto imagem da função dada é:
I_m = {y Î R; y ¹ ½} = R – {1/2}, ou seja, o conjunto de todos os números reais diferentes de ½.

5 ) y = sqrt (x – 1) + sqrt (5 – x)
Neste caso, as condições para a existência de y são que x – 1 ³ 0 e 5 – x ³ 0 . Logo,
x ³ 1 e 5 ³ x o que é o mesmo que 1 £ x £ 5, ou seja, o domínio da função é
D = {x Î R; 1 £ x £ 5 } = [1, 5] (intervalo fechado dos números reais de 1 a 5).

Para determinar o conjunto imagem, teremos que achar os valores possíveis para y.
Como x pode variar em R (conjunto dos números reais) de 1 até 5, poderemos escrever para valores inteiros de x :
Observação: claro que sendo x um número real, ele assume também valores não inteiros, os quais não utilizaremos aqui, pois complicaria os cálculos, desnecessariamente.

y = sqrt (x – 1) + sqrt (5 – x) = Ö (x-1) + Ö (5-x)
x = 1 Þ y = sqrt (1 – 1) + sqrt (5 – 1) = sqrt 0 + sqrt 4 = 0 + 2 = 2
x = 2 Þ y = sqrt (2 – 1) + sqrt (5 – 2) = sqrt 1 + sqrt 3 = 1 + Ö 3 » 1 + 1,732 » 2,732
x = 3 Þ y = sqrt (3 – 1) + sqrt (5 – 3) = sqrt 2 + sqrt 2 = 2.sqrt2 = 2Ö 2 » 2.1,414 » 2,818
x = 4 Þ y = sqrt (4 – 1) + sqrt (5 – 4) = sqrt 3 + sqrt 1 = Ö 3 + 1 » 1,732 + 1 » 2,732
x = 5 Þ y = sqrt (5 – 1) + sqrt (5 – 5) = sqrt 4 + sqrt 0 = 2 + 0 = 2
Observe que para x inteiro de 1 a 5, y variou de 2 até voltar novamente a a 2, passando pelo valor máximo 2,818... = 2Ö 2.

Portanto, o conjunto imagem desta função é I_m = {y Î R ; 2 £ y £ 2Ö 2} = [2, 2Ö 2], ou seja, o intervalo fechado de números reais de 2 a 2Ö 2.

Nota: neste problema, não tentamos explicitar x em função de y por meios algébricos, pois o caminho seria por demais tortuoso e até um certo ponto inviável, face ao trabalho imenso necessário. Seria na verdade o que eu chamo de sacrifício sem glória! Usando derivadas – determinação dos pontos máximos e mínimos de uma função – seria menos trabalhoso, mas, este assunto vocês só verão no 1º ano de faculdade, para quem optar por cursos na área de ciências exatas.

Agora resolva este:
Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = sqrt (x – 2) – sqrt (2 – x)?
Resposta: D = {2} e I_m = {0}.

Um comentário importante.
Para que exista uma função f , são necessários dois conjuntos A e B e uma lei y = f (x) que a defina, ou seja: 
f: A ® B ; y = f (x). Portanto, quando nos referimos a y = f (x) como sendo a própria função, estamos na verdade cometendo um abuso de linguagem, pois estamos confundindo a função com a lei que a define . 
Outro aspecto a ser considerado é que dada uma função, o seu domínio já existe implicitamente. 
Perguntar qual o domínio de uma função, é também um abuso de linguagem. Contudo, estas formas de expressão são tradicionalmente aceitas pelo uso, não se constituindo em propriamente um erro. 
É conveniente entretanto que se tenha isto em mente.

No entanto, perguntar qual o conjunto imagem de uma função, não se constitui em abuso de linguagem pois, normalmente, as funções são definidas por uma lei – f(x) – e por dois conjuntos A e B onde B é o seu contradomínio. Aliás, é conveniente registrar que quando o conjunto imagem de uma função coincide com o seu contradomínio, ela recebe a denominação especial de função sobrejetora.

Paulo Marques, 16 de agosto de 2003 - Feira de Santana - BA
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