Descontos Simples

Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional.
O desconto comercial é também conhecido como desconto por fora e o desconto racional é também conhecido como desconto por dentro. Na prática, os bancos utilizam sempre o desconto comercial.

Vamos considerar os dois tipos de descontos, iniciando pelo desconto racional ou desconto por dentro.
Neste tipo de desconto, o percentual de desconto incide sobre o valor líquido do título a ser descontado.

I - DESCONTO RACIONAL ou desconto por dentro.

Vamos considerar a seguinte simbologia:

N = valor nominal de um título (é o valor de face ou seja, o valor que está impresso no título a ser descontado).
L = valor líquido ou seja, o valor nominal do título menos o desconto (L = N - Dr).
Dr = desconto racional.
i = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Como o desconto racional incide sobre o valor líquido do título, teremos por definição: Dr = L. i . n; como L = N - Dr , vem, substituindo:
Dr = (N - Dr).i.n. Desenvolvendo, fica:
Dr = N.i.n - Dr.i.n  e daí, Dr + Dr.i.n = N.i.n, de onde tiramos Dr(1 + i.n) =N.i.n e, finalmente:

Dr = N.i.n / (1 + i.n)

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
Temos: n = 3,  i = 5% = 5/100 = 0,05 a. m. , N = 10000. Logo:
Dr = (10000.0,05.3) / (1 + 0,05.3) = 1500 / 1,15 =  R$1304,35
Assim, o valor líquido a ser recebido pelo título após o desconto nas condições especificadas no problema seria igual a:
L = 10000 - 1304,35 = R$8695,65

II - DESCONTO COMERCIAL ou desconto por fora

Vamos considerar a seguinte simbologia:

N = valor nominal de um título (é o valor de face ou seja, o valor que está impresso no título a ser descontado).
L = valor líquido ou seja, o valor nominal do título menos o desconto (L = N - Dc).
Dc = desconto comercial.
i = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Como o desconto comercial incide sobre o valor nominal do título a ser descontado, teremos por definição: Dc = N. i . n

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução: Dc = 10000.0,05.3 = R$1500,00

Nota: Em resumo, temos:
a) desconto racional: Dr = N.i.n / (1 + i.n)
b) desconto comercial: Dc = N. i . n
Observe que para valores coincidentes da taxa de desconto i e do período n, o desconto comercial é maior do que o desconto racional . Isto explica o motivo dos bancos adotarem o desconto comercial ao invés do desconto racional pois, a adoção do desconto racional resultará num valor líquido maior a ser recebido pelo portador do título a ser descontado antes do prazo de vencimento (pessoa física ou empresa).

III - Desconto bancário

Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras.

Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva mensal da operação.

Solução:
Desconto comercial: D_c = 100000 . 0,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: d_a = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: L = 100000 - 32750 = 67250
Logo, L = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será:
 i = (32750) / (67250) = 0,4870 nos 6 meses = 48,70% em 6 meses = 48,70/6 = 8,12% a. m.

Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.

IV - Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.

Notas:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva mensal da operação.

Solução:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90 = 187,50
Logo, o desconto total foi igual a d = 6000 + 1000 + 187,50 = 7187,50

Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = (7187,50)/(42812,50) = 0,001679 =  16,79% nos 3 meses = 16,79% a.t. = 16,79/3 = 5,60% a. m.
Resposta: L = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Fiscal - MS-2000) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$2000,00 dois meses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4% a. m. A taxa efetiva de juros dessa operação foi igual a:
a) 10%
b) 10,44%
c) 10,77%
d) 11,11%
Solução:
Teremos: Dc = N.i.n = 2000.0,04.2,5 = 200
O valor líquido recebido será igual a L = 2000 - 200 = 1800.
Portanto, a taxa efetiva de juros da operação foi igual a 200/1800 = 0,1111 = 11,11% ou seja, alternativa (d). 

2 - AFRF - 2003) Um título sofre um desconto comercial de R$9810,00  três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês.Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.
a) R$ 9810,00
b) R$ 9521,34
c) R$ 9500,00
d) R$ 9200,00
e) R$ 9000,00
Solução: 
Teremos: Dc = N.i.n , onde Dc = 9810, i = 3% = 0,03 e n = 3. Substituindo os valores conhecidos fica:
9810 = N.0,03.3 = 0,09.N, de onde  tiramos N = 9810 / 0,09 = 109000
Como vimos no item II acima, o desconto racional é dado por: Dr = N.i.n / (1 + i.n). Substituindo os valores conhecidos, vem:
Dr = (109000.0,03.3) / (1 + 0,03.3) = 9810 / 1,09 = 9000
Portanto, a alternativa correta é a de letra (e).

3 - Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.

Resposta: desconto = $300,00 e valor descontado ou valor líquido = $4700,00

4 - Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.

Resposta: 6,06% a.m.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - revisado e ampliado em 12/04/2008.

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