| Raízes divisoras |
Suponha que P(x) = a0 + a1x
+ a2x2 + a3x3 + ... + anxn
seja um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros (com a0 ¹
0). Seja a
um número inteiro. Prove que se a
for raiz de P(x), então a
será um divisor do termo independente a0.
Nota: a
= alfa : primeira letra do alfabeto grego.
Solução:
Seja o polinômio P(x) = a0 + a1x
+ a2x2 + a3x3 + ... + anxn
com a condição que
a0 , a1 , ... , an sejam números inteiros
com o termo independente a0 ¹ 0
. A tarefa é provar que se a
for uma raiz inteira de P(x) então a
é um divisor de a0 ou seja (a0 / a)
é um número inteiro.
Ora, se a
é raiz de P(x) então P(a
) = 0, ou seja, o valor a
anula o polinômio.
Nestas condições, fazendo x = a
no polinômio P(x), teremos:
a0 + a1 a
+ a2 a
2 + a3 a
3 + ... + an a
n = 0
Isolando a0 no primeiro membro fica:
a0 = - (a1 a
+ a2 a
2 + a3 a
3 + ... + an a
n )
Colocando a
em evidencia no segundo membro, fica:
a0 = - a
(a1 + a2 a +
a3 a
2 + ... + an a
n-1)
Ora, sendo a1, a2, ... an e a
inteiros, infere-se (deduz-se) que
(a1 + a2 a +
a3 a
2 + ... + an a
n-1) é também um número inteiro. Chamando de k esse número
inteiro, teremos: a0 = - a
. k .
Daí vem imediatamente que - a0 / a
= k, o que mostra claramente que a
é um divisor de a0 pois a0
dividido por a
resulta no número inteiro k, ou seja, a
é um divisor do termo independente a0 . Está
portanto provado o simples teorema, agora, óbvio e ululante!:
Relembrando: Sendo P(x) = a0 + a1x
+ a2x2 + a3x3 + ... + anxn
um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros (a0 ¹
0) e a
um número inteiro, se a
for raiz de P(x), então a
será um divisor do termo independente a0.
Exemplos:
I - Observe que 2 é uma raiz inteira do polinômio P(x) = x3 – 4x2 + 6x – 4 , pois P(2) = 23 – 4.22 + 6.2 – 4 = 8 – 16 + 12 – 4 = 20 – 20 = 0 e que 2 é divisor de do termo independente (- 4).
II - Observe que 6 é raiz inteira do polinômio P(x) = x2 - 7x + 6 = 0, pois P(6) = 62 - 7.6 + 6 = 36 - 42 + 6 = 0 e que 6 é divisor do termo independente (+6).
III - Observe que as raízes da equação P(x) = x3 - 14x2 + 55x - 42 = 0 são 1, 6 e 7 pois P(1) = 13 - 14.12 + 55.1 - 42 = 0, P(6) = 63 - 14.62 + 55.6 - 42 = 216 - 504 + 330 - 42 = 546 - 546 = 0 e P(7) = 73 - 14.72 + 55.7 - 42 = 343 - 686 + 385 - 42 = 728 -728 = 0 e que 1, 6 e 7 são divisores de (-42).
Nota: você pode estar até intrigado com o fato de eu ter sabido que 1, 6 e 7 são as raízes da equação x3 - 14x2 + 55x - 42 = 0, mesmo antes de resolvê-la. Para que não haja nenhum tipo de mistério, informo que parti da igualdade (x - 1).(x - 6).(x - 7) = 0 e que efetuando a multiplicação dos termos do primeiro membro da igualdade, resulta em x3 - 14x2 + 55x - 42 = 0. [faça a multiplicação e comprove, como um exercício].
Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 07 de setembro de 2004 – 182º aniversário da Independência do Brasil, segundo os livros de História. Editado e ampliado em 15 de janeiro 2011.
Viva o nosso
FLUMINENSE,
CAMPEÃO BRASILEIRO DE 2010! 
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