Equações recíprocas

Seja a equação racional inteira a0.x n + a1.x n-1 + a2.x n-2 + ... + an = 0, ordenada segundo as potências decrescentes de x , com a0 , a1 , ... , an números reais sendo a0 ¹ 0 e n inteiro positivo.
Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos eqüidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos uma equação recíproca de 2ª espécie.

Exemplos:
2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 - equação recíproca de 1ª espécie
2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0 - equação recíproca de 2ª espécie.

Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma divisão do primeiro membro da equação, por x ± 1, o que facilitará sobremaneira a resolução da mesma.

Seja resolver a equação recíproca 2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0 .
Trata-se de uma equação recíproca de 2ª espécie.
Observe que 1 é raiz da equação pois: 2.15 - 3.14 - 5.13 + 5.12 + 3.1 - 2 = 0 .
Vamos dividir o primeiro membro da equação dada por x - 1, de modo a abaixar o grau da equação. Utilizaremos o método de Briot-Ruffini:

    2   -3   -5   5   3   -2
1   2   -1   -6   -1   2   0

Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

A equação dada pode então ser escrita na forma fatorada, como:
(x - 1). (2x4 - x3 - 6 x2 - x + 2) = 0
Logo, 2x4 - x3 - 6 x2 - x + 2 = 0

Dividindo ambos os membros por x2 , vem:
2x2 - x - 6 - 1/x + 2/x2 = 0
2x2 + 2/x2 - x - 1/x - 6 = 0
2(x2 + 1/x2) - (x + 1/x) - 6 = 0

Observe agora, que:
(x + 1/x)2 = x2 + 2.x.(1/x) + 1/x2 =x2 + 1/x2 + 2

Portanto,
x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2

Substituindo na equação em negrito acima, fica:
2[(x + 1/x)2 - 2] - (x + 1/x) - 6 = 0
2(x + 1/x)2 - 4 - (x + 1/x) - 6 = 0

Fazendo x + 1/x = y , vem:
2y2 - 4 - y - 6 = 0
2y2 - y - 10 = 0

Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2 .
Substituindo em x + 1/x = y, vem:
x + 1/x = 5/2 \ 2x2 - 5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.
x + 1/x = -2 \ x2 + 2x + 1 = 0 \ (x + 1)2 = 0 \ x = -1 ou x = -1.

Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:
S = {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}
Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou seja, -1 é uma raiz dupla.

Agora resolva as seguintes equações recíprocas:

a) 12x4 - 4x3 - 41x2 - 4x + 12 = 0
Sugestão: comece dividindo ambos os membros por x2 .

b) 20x5 - 169x4 - 591x3 - 591x2 - 169x + 20 = 0
Sugestão: observe que -1 é raiz; logo, comece dividindo o primeiro membro por x - (-1) = x + 1.

Respostas:
a) S = {2, 1/2, -2/3, -3/2}
b) S = {-1, 5, 1/5, 4, 1/4}

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 15/04/2000. Editado em 11/12/2010

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