| Exercícios de Geometria Analítica |
Matemática não tem idade!
A - Exercícios resolvidos
1 – E.E. Lins/1968
Dados os
vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o
comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é:
a) 12,32
b) 10,16
c) 15,08
d) 7,43
e) 4,65
Solução:
Seja o triângulo PQR abaixo:
Sendo M o ponto médio do lado PR, o
segmento de reta QM será a mediana relativa ao lado PR.
Sendo os pontos P(1,1) e R(-5,2), o ponto médio M será: M(-2, 3/2).
Observe que:
-2 = [1 + (- 5)]/2 e 3/2 = (1 + 2)/2.
Em caso de dúvida, reveja Geometria Analítica clicando AQUI.
O comprimento da mediana procurado, será
obtido calculando-se a distancia entre os pontos Q e M.
Usando a
fórmula da distancia entre dois pontos, vem:
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
2 – EPUSP/1966
Os pontos do
plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x – y) = 0
constituem:
a) uma reta
b) uma senóide
c) uma elipse
d) um feixe de retas paralelas
e) nenhuma das respostas anteriores
Solução:
O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p , 4p, ... , kp , onde k é um número
inteiro. Logo:
sen(x - y) = 0 Þ x – y =
kp.
Daí, vem:
- y = - x + kp
\ y = x -
kp , k
Î Z.
Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de
retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas,
ou seja:
...................................................................
k = - 1 reta: y = x + p
k = 0 reta: y = x
k = 1 reta: y = x - p , e assim sucessivamente.
...................................................................
Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas
paralelas).
3 – A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas cartesianas:
a) uma hipérbole
b) uma elipse
c) uma circunferência
d) uma parábola
e) duas retas
Solução:
Temos: x2 – y2 + x + y = 0 ; podemos
escrever:
(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;
Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2
Fatorando, fica:
(x + y) (x – y + 1) = 0
Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter
necessariamente:
x + y = 0 ou x – y + 1 = 0 ;
Logo,
y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à
alternativa E.
B - Exercícios propostos
1 – FAUUSP/1968 – Determine a
área do triângulo ABC onde A, B e C são, respectivamente, os
pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M(-1, -5), N(1,3)
e P(7, -5).
Em caso de dúvida, reveja ponto médio de um segmento
e cálculo de área de um triângulo.
Resposta: 8 u.a (8 unidades de área).
2 – EPUSP/1963 – Dado o ponto
A(1,2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados
respectivamente sobre as retas
y = x e y = 4x, de tal modo que A
seja o ponto médio do segmento PQ.
Em caso de dúvida, reveja equação da reta.
Resposta: P(4/3,4/3) e Q(2/3,8/3)
3 – FAUUSP/1968 – Determine a
equação da reta que passa pelo centro da circunferência de
equação 2x2 + 2y2 + 4x + 1 = 0 e é perpendicular
à reta de equação x + 2y - 1 = 0.
Em caso de dúvida,reveja circunferência.
Resposta: y = 2x + 2