| Geometria Analítica IV |
Equação segmentária da reta
Considere a reta representada na fig. a seguir:
Verificamos que a reta corta os
eixos coordenados nos pontos (p,0) e (0,q).
Sendo G(x,y) um ponto
genérico ou seja um ponto qualquer da reta, através da
condição de alinhamento de 3 pontos, chegamos facilmente à
equação segmentária da reta:
Nota: se p ou q for igual a zero , não existe a equação segmentária (Lembre-se: não existe divisão por zero); portanto , retas que passam na origem não possuem equação segmentária.
Exercício resolvido
Ache a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 3y - 18 = 0.
Solução:
Podemos escrever: 2x + 3y = 18 ; dividindo ambos os membros por
18 vem:
2x/18 + 3y/18 = 18/18 \ x / 9 + y / 6 = 1. Vemos portanto que p =
9 e q = 6 e portanto a reta corta os eixos coordenados nos pontos
A(9,0) e B(0,6).
Equações paramétricas da reta
Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta.
x = f(t) onde f é uma função do
1o. grau
y = g(t) onde g é uma função do 1o. grau
Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .
Exercício resolvido
Um móvel descreve uma trajetória
retilínea e suas coordenadas em função do tempo t , são:
x = 3t + 11
y = -6t +10
Qual a equação segmentária dessa trajetória?
Solução:
Multiplicando ambos os membros da 1ª equação
paramétrica por 2, vem: 2x = 6t + 22. Somando agora membro a
membro com a 2ª equação, obtemos: 2x + y = 32 (observe que a
variável t é eliminada nessa operação pois 6t + ( -6t ) = 0
). Dividindo ambos os membros da equação obtida por 32 fica:
2x / 32 + y / 32 = 32 / 32 \ x / 16 + y / 32 = 1, que é a equação
segmentária procurada.
Retas perpendiculares
Sabemos da Geometria Plana que
duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam
entre si um ângulo reto (90º) . Sejam as retas r: y = mr
x + nr e s: y = ms x + ns .
Nestas condições podemos escrever a seguinte relação entre os
seus coeficientes angulares:
ms = - 1 / mr ou mr . ms
= -1 .
Dizemos
então que se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus
coeficientes angulares
é igual a -1.
Deixaremos de demonstrar esta propriedade, não obstante a sua simplicidade, mas se você se interessar em ver a demonstração, mande-me um e-mail solicitando.
Exercício resolvido
Dadas as retas de equações (2w - 2)x + (w - 1)y + w = 0 e (w - 3)y + x - 2w = 0, podemos afirmar que:
a) elas são perpendiculares para
qualquer valor de w
b) elas são perpendiculares se w = 1
c) elas são perpendiculares se w = -1
d) elas são perpendiculares se w = 0
e) essas retas não podem ser perpendiculares
Solução:
Podemos escrever para a 1ª reta: y = [-(2w-2) / (w-1)].x - w
/(w-1).
Analogamente para a 2ª reta: y = [-1 / (w-3)].x + 2w / (w-3). Ora, os coeficientes de x são os coeficientes angulares e, pelo que já sabemos, a condição de perpendicularidade é que o produto desses coeficientes angulares seja igual a -1. Logo:
Efetuando os cálculos indicados e
simplificando-se obtemos: w2 - 2w + 1 = 0, que é
equivalente a
(w - 1)2 = 0, de onde conclui-se que w = 1.
Mas, cuidado! Observe que w = 1 anula o denominador da expressão acima e, portanto é uma raiz estranha, já que não existe divisão por zero! Apesar das aparências, a raiz w = 1 não serve! Logo, a alternativa correta é a letra E e não a letra B como ficou aparente.