Seja z um número complexo tal que | z| + z = 8 + 4i.
Nestas condições, pede-se:
1 - determinar o número complexo z
2 - determinar o módulo de z
3 - determinar o argumento de z

SOLUÇÃO:
Seja z = x + yi , o número complexo procurado. Teremos então:
| z| = 8 + 4i - z = 8 + 4i - (x + yi) = (8 - x ) + (4 - y)i
| z| = (8 - x) + (4 - y)i (equação I)

Como o módulo de um número complexo é necessariamente um número real, podemos concluir que deveremos ter também necessariamente 4 - y = 0 \ y = 4.
Portanto, o número complexo procurado é z = x + 4i. Falta determinar o valor de x.

Nestas condições, | z| = (x + 4i)^1/2 ou, de uma forma equivalente,

Substituindo os valores de | z| e de y na equação I acima, vem:

Quadrando ambos os membros, vem:
x² + 16 = (8 - x)²
x² + 16 = 64 - 16x + x² Þ - 48 = - 16x Þ x = 3.
Logo, o número complexo procurado é z = 3 + 4i

Em conseqüência, o seu módulo será :

Para o cálculo do argumento q , teremos:
tg q = b / a = 4 / 3 = 1,333...
Logo, q = arctg 1,333... ou seja, q é o arco cuja tangente é igual a 1,3333... .

Consultando uma tabela trigonométrica, ou usando uma calculadora científica, concluímos que q » 53,13º .

Respostas:
1) z = 3+4i
2) |z| = 5
3) q » 53,13º

Se você quiser rever o capítulo Números Complexos, clique AQUI.
Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA , 11 de setembro de 1999.

VOLTAR