Seja o número complexo z = r (cosq + i . senq ).
Para o cálculo das
raízes e-nésimas do complexo z, ou seja, para o cálculo de 
, deveremos utilizar a
seguinte fórmula:
onde k = 0,1,2,3, ... , n - 1.
Esta fórmula é aparentemente assustadora, não é?!
Vamos então, por partes.
1 - O ângulo q (argumento do complexo) deve ser expresso em graus.
Se você preferir usar a unidade radiano, ao invés de 360.k,
deverá ser usado 2kp , pois 360 graus = 2p radianos.
2 - Como k = 0,1,2,.3, ... , n -1, então são n valores
possíveis para a variável k, o que significa que existem n
raízes e-nésimas de z. Ou seja: 2 raízes quadradas, três
raízes cúbicas, quatro raízes quartas, cinco raízes quintas,
etc.
3 - Observe que todas as n raízes e-nésimas de z possuem o
mesmo módulo.
Vamos determinar, como exemplo, as três raízes cúbicas da
unidade.
Seja o número complexo z = 1 (unidade).
Podemos escrever na forma polar: z = 1 (cos 0º + i . sen 0º)
Temos então:
módulo: r =
1
argumento: q
= 0º = 0 rad
Substituindo na fórmula dada, vem:
Fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz,
ou seja:
z1 = 1(cos 0º + i . sen 0º) = 1(1 + i . 0) = 1
Fazendo k = 1, obteremos a segunda
raiz, ou seja:
z2 = 1(cos 120º + i . sen 120º) = -1/2 + i . Ö 3 / 2
Finalmente, fazendo k = 2, obteremos a
terceira e última raiz:
z3 = 1(cos 240º + i . sen 240º) = -1 /2 - i . Ö 3 / 2
Um detalhe importante pode ser visualizado no exemplo acima: os argumentos das raízes são 0º, 120º e 240º , que são termos de uma progressão aritmética de razão 120º. Isto não é uma coincidência! Veja a dica abaixo:
As n raízes
enésimas de um número complexo de argumento q , possuem argumentos que formam uma
Progressão Aritmética de primeiro termo q / n e razão 360º / n.
Sabendo disto, poderemos simplificar o cálculo das raízes de um número complexo.Por exemplo, vamos calcular as raízes quadradas da unidade imaginária:
Temos z = i ( i = unidade imaginária).
Portanto, z = 1(cos 90º + i . sen 90º)
módulo: r =
1
argumento: q
= 90º
Como queremos as raízes quadradas, temos n = 2. Pela dica acima,
os argumentos das raízes formarão uma P. A . de primeiro termo
90º / 2 = 45º e razão igual a 360 / n = 360 / 2 = 180º. Logo,
basta determinar a primeira raiz e usar esta informação para
calcular a segunda e última raiz.
Temos:
1ª raiz: fazendo k = 0, vem z1
= 1(cos 45º + i . sen 45º) = Ö 2 / 2 + i . Ö 2 / 2
2ª raiz: z2 = 1(cos 225º + i . sen 225º) = - Ö 2 /2 - i .Ö 2 / 2
Observe que 225º = 45º + 180º (180º = 360 / n = 360 / 2 (veja
acima).
Mais um exercício resolvido para você!
Resolva a equação z6 - 16z3 + 64 = 0 ,
onde z Î C
(C = conj. dos números complexos).
Vamos começar fazendo z3 = x ; Daí, vem z6
= (z3)2 = x2 ; substituindo,
fica:
x2 - 16x + 64 = 0 \ (x - 8)2 = 0 \ x = 8
Como z3 = x , vem z3 = 8 . O problema
consiste então no cálculo das raízes cúbicas de 8. Observe
que 8 = 8 + 0. i ( i = unidade imaginária).
Portanto:
Sabemos que existem três raízes cúbicas;
logo, fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz:
z1 = 2(cos 0º + i . sen 0º) = 2(1 + 0.i) = 2
Usando a dica vista acima , vem:
z2 = 2(cos 120º + i. sen 120º) = 2(- 1 /2 + i . Ö 3 / 2) = - 1 + Ö 3 i
z3 = 2(cos 240º + i . sen 240º) = 2[- 1 /2 + i . (- Ö 3 / 2) = -1 - Ö 3 i
Portanto, o conjunto solução da equação
dada é:
S = {2; -1 + Ö 3 i; -1 - Ö 3 i}
Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 18 de setembro de 1999