Nota: Se necessário, reveja a parte 1 de Números complexos, nesta página.

1 - A forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo

1.1 - Módulo e argumento

Considere a figura a seguir:

Sendo P o afixo do número complexo z , de módulo ½ z½ , no triângulo OaP, podemos escrever:
cosa = a / ½ z½ \ a = ½ z½ . cosa e b = ½ z½ . sena

• O ângulo a é denominado argumento do número complexo z e a distância OP é denominada módulo do complexo e representada por ½ z½ , ou pela letra grega r (rô).
• No triângulo retângulo AoP , podemos escrever a seguinte expressão para a determinação da tangente do ângulo a :
  ..onde 0º £ a £ 360º
• Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo AoP, podemos escrever a seguinte relação para calcular o módulo do número complexo z:
  = r

Notas:

1) é usual representar o módulo de um número complexo, pela letra grega r (rô)

2) Um número complexo de módulo r e argumento q , pode ser representado pelo símbolo z = r Ð q . (Esta simbologia é muito utilizada nos estudos mais avançados de Eletricidade. Para o vestibular, esta notação não tem grande interesse).

EXEMPLO: Dado o número complexo z = 1 + Ö 3 i , determine o módulo e o argumento de z.

a) Módulo: ou seja r = 2.
b) Argumento: tg a = b / a = Ö 3 / 1 = Ö 3 Þ a = 60º = p / 3 rad (radianos).

1.2- Forma polar de um número complexo
Sendo z = a + bi e substituindo os valores de a e b vistos acima, vem:
z = ½ z½ (cosa + i . sena ) , denominada forma polar ou trigonométrica do número complexo.
Assim, o número complexo do exemplo anterior, poderá ser escrito na forma polar como segue:
z = 2(cos60º + i.sen60º)

Exemplos:
z = 10(cos30º + i.sen30º) = 10(Ö 3 / 2 + i . 1 /2) = 5Ö 3 + 5i
w = 2(cos0º + i.sen0º) = 2(1 + i .0) = 2
r = 5(cos90º + i . sen90º) = 5(0 + i . 1) = 5i
s = 100(cos180º + i . sen180º) = 100( -1 + i . 0) = - 100
u = cos 270º + i . sen270º = 0 + i .(-1) = - i

Nota: A forma polar de um número complexo, é especialmente interessante para o cálculo de potências e raízes de números complexos, conforme veremos adiante.

2 - Operações com números complexos na forma polar

Não é usual efetuar-se adições ou subtrações de números complexos na forma polar, devido ao fato de que estas operações com os números complexos na forma algébrica, são bem mais fáceis de realizar. Se os números complexos estiverem na forma polar, para somá-los (ou subtraí-los), primeiro converta-os para a forma binômia ou algébrica e efetue os cálculos.

Exemplo:
z = 10(cos 0º + i . sen 0º) = 10 (1 + i . 0) = 10
w = 5(cos 90º + i . sen 90º) = 5 (0 + i . 1) = 5i
z + w = 10 + 5i

Mostraremos a seguir, as fórmulas para multiplicação, divisão e potenciação de números complexos.

Sejam os números complexos:
z₁ = r ₁(cosq ₁ + i . senq ₂) , z₂ = r ₂(cosq ₂ + i . senq ₂) e z = r (cosq + i . senq ) .

Temos as seguintes fórmulas, demonstráveis sem excessivo trabalho:

F1) PRODUTO
z₁ . z₂ = r ₁ . r ₂ [cos(q ₁ + q ₂) + i . sen(q ₁ + q ₂)]

EXEMPLO: z₁ = 15(cos30º + i . sen30º) e z₂ = 3(cos60º + i . sen60º).
z₁ . z₂ = 15.3[cos(30º + 60º) + i . sen(30º + 60º)] = 45(cos90º + i . sen90º) = 45(0 + i . 1) = 45i

F2) DIVISÃO

Exemplo:
z₁ = 10(cos120º + i . sen120º) e z₂ = 5(cos30º + i . sen30º)
z₁ / z₂ = 10 /5 [cos(120º - 30º) + i . sen(120º - 30º)] = 2(cos90º + i . sen90º) = 2(0+i . 1) = 2i

F3) POTENCIAÇÃO
zⁿ = r ⁿ(cos n.q + i . sen n.q )

Exemplo:
z = 10(cos30º + i . sen30º)
z³ = 10³(cos3.30º + i . sen3.30º) = 1000(cos90º + i . sen90º) = 1000(0 + i . 1) = 1000i
z⁹ = 10⁹(cos9.30º + i . sen9.30º) = 10⁹(cos270º + i . sen270º) = 10⁹[0 + i . (-1)] = 10⁹.i

ARCO	0º	90º	180º	270º	360º
cos	1	0	-1	0	1
sen	0	1	0	-1	0

A fórmula da radiciação, pela sua importância e seus aspectos peculiares, será mostrada num texto à parte, a ser publicado a seguir. Aguardem!

Um aspecto interessante da fórmula de potenciação de números complexos, é obtido fazendo-se r = 1 ( ou seja, considerando o módulo r do complexo, igual a 1) na fórmula F3 acima:

Teremos então:
z = cosq + i . senq
zⁿ = cos(nq ) + i . sen(nq )
Substituindo o valor de z , vem, finalmente:
(cosq + i . senq )ⁿ = cos(nq ) + i . sen(nq )
Esta fórmula é conhecida como Fórmula de MOIVRE .
MOIVRE = (lê-se Moavre) - Abraham De Moivre (1667-1754) - matemático francês. Viveu a maior parte de sua vida na Inglaterra. Além de contribuições à teoria dos números complexos, deixou importantes trabalhos sobre a teoria das probabilidades e sobre trigonometria. Um aspecto singular sobre Moivre é que , por não possuir cidadania britânica, ele não conseguiu ensinar nas Universidades inglesas, não obstante a sua genialidade!

Vamos agora, deduzir as fórmulas trigonométricas do seno e coseno do arco duplo, com a utilização da fórmula de Moivre:

Para isto, façamos n = 2 na fórmula de Moivre. Vem:
(cosa + i . sena)² = cos2a + i . sen2a
Desenvolvendo o primeiro membro e igualando, vem:
cos²a + 2 . cosa . i . sena + i² . sen²a = cos2a + i . sen2a
Lembrando que i² = -1, vem:
cos²a - sen²a + i . 2sena.cosa = cos2a + i . sen2a
Ora, para que a igualdade acima seja verdadeira, deveremos ter necessariamente:
cos2a = cos²a - sen²a
sen2a = 2.sena.cosa
Estas são as fórmulas trigonométricas do arco duplo, elegantemente e facilmente deduzidas sem complicações, pela fórmula de Moivre.

NOTA: Como sabemos da Trigonometria que sen²a + cos²a = 1, vem que:
sen²a = 1 - cos²a e
cos²a = 1 - sen²a
Daí, é que substituindo os valores acima na fórmula do coseno do arco duplo (cos2a), fica:
cos2a = 2cos²a - 1
cos2a = 1 - 2sen²a
Estas são importantes fórmulas trigonométricas, de interesse para questões de vestibulares.

Se lhe pedissem no vestibular, (numa prova da 2ª fase) , para calcular sen3a e cos3a, como você resolveria? É simples!

Basta considerar na fórmula de Moivre, n = 3.
Tente! Você obteria:
cos3a = cos³a - 3.sen²a.cosa
sen3a = 3.cos²a.sena - sen³a
Tente!

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 30 de setembro de 1999

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