Funções Trigonométricas Inversas

1 – Função arco seno

Considere a função y = senx . Sabemos que para achar a inversa, basta permutar x por y e vice-versa. Nestas condições a inversa será x = seny.

Entretanto, sabemos do estudo geral das funções, que a inversa de uma função será também uma função se e somente se a função dada for bijetora. Como sabemos que a função y = senx não é bijetora em R, (se necessário, revise esse conceito no capítulo Funções) , para que a sua inversa seja também uma função, deveremos definir um intervalo na qual a função seno seja bijetora. 
Este intervalo é: [-p /2, p /2]
Assim, a função f: [-p /2, p /2] ® [-1, 1] definida por y = senx é bijetora.
Então, a inversa x = seny terá domínio [-1, 1] e conjunto imagem [-p /2, p /2] e, neste caso, será também uma função.

A igualdade x = seny costuma ser escrita como y = arcsenx que lê-se: y é o arco cujo seno é x.
Em resumo: y = arcsenx   para    -1 £ x £ 1 e -p /2 £ x £ p /2.
Nunca esqueça que y = arcsenx Û seny = x, considerando-se as limitações para x e y impostas acima.

Exemplos:

a) sen p /6 = 1/2 Û p /6 = arcsen (1/2)
b) sen p = 0 Û p = arcsen 0
c) sen 0 = 0 Û 0 = arcsen 0 (lê-se: 0 é o arco cujo seno é 0).

Exercício Resolvido

Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?
Solução: 
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:
Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].
Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2.
Resposta:  D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].

Analogamente definiríamos as funções arco coseno e arco tangente .

1. Função arco coseno
y = arccosx Û x = cosy , para 0 £ y £ p e –1 £ x £ 1.
Exemplo: cos 60º = 1/2, logo 60º = arccos 1/2 (Obs: 60º = p /3 rad)

2. Função arco tangente
y = arctgx Û x = tgy , para -p /2 < y < p /2 e x Î R.
Exemplo: tg 45º = 1, logo 45º = arctg 1 (Obs: 45º = p /4 rad)

Exercícios Resolvidos:

1. Calcule y = tg(arcsen 2/3)

Solução: 
Seja w = arcsen 2/3. Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem:
sen²w + cos²w = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria).
Substituindo o valor de senw vem:
(2/3)² + cos²w = 1 de onde conclui-se: cos²w = 1 – 4/9 = 5/9.
Logo:
cosw = ± Ö 5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de
–90º a +90º,  intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +Ö 5 /3.
Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / (Ö 5/3)] = 2/Ö 5
Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (2Ö 5)/ 5 que é o valor de y procurado.

2. Calcular o valor de y = sen(arc tg 3/4).

Solução: 
Seja w = arc tg 3/4. Podemos escrever: 
tgw = 3/4 Þ senw / cosw = 3/4 Þ senw = (3/4).cosw
Da relação fundamental da Trigonometria, sen²w + cos²w = 1, vem, substituindo o valor de senw:
[(3/4).cosw]² + cos²w = 1 \ 9/16.cos²w + cos²w = 1 \ 25/16 . cos²w = 1
cos²w = 16/25 Þ cosw = ± 4/5.
Como w = arctg 3/4, sabemos da definição da função arco tangente que w varia no intervalo
 –90º a +90º , intervalo no qual o coseno é positivo.
Logo, cosw = + 4/5.
Mas, senw = (3/4).cosw = (3/4).(4/5) = 3/5 , e portanto:
y = sen(arctg 3/4) = senw = 3/5, que é a resposta procurada.

Agora resolva os seguintes:

1) Qual o domínio da função y = arccos(1 – logx)? 

2) Resolver a equação: arcsenx = 2 arccosx 

Respostas: 1) D = [1,100]     2)  x = Ö 3/2. 

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, nos idos de outubro 1997, com revisão em 30/09/06.

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