Mistura Fina: atuns, ervilhas e sardinhas Academia da Força Aérea - AFA) Em um balcão de supermercado, foram esquecidas 2 sacolas. Uma continha 3 latas de atum, 2 latas de ervilha e 5 de sardinha; a outra, x latas de atum, 3 latas de ervilha e 3 de sardinha. Escolhe-se ao acaso uma sacola e retira-se uma lata. Qual é o menor valor de x para que a probabilidade de tratar-se de uma lata de atum seja, no mínimo, 50%?
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16Nota: esta foi a questão número 9, numa prova do Concurso de Admissão ao 1o. ano, da AFA - Academia da Força Aérea, realizada em 28 de agosto de 2002.
Solução:
Sejam S1 e S2 os conjuntos representativos das duas sacolas; do enunciado da questão, vemos que o conjunto S1 possui 10 elementos (3+2+5 = 10) e o conjunto S2 possui x+6 elementos (x+3+3).
Sejam os eventos:
S: "escolher uma sacola" e A: "escolher uma lata de atum" . Note que estes eventos são independentes. No caso de dúvida, consulte Noções de Probabilidades I
Então teremos:
A probabilidade de escolher a sacola S1 e uma lata de atum em S1 será igual ao produto (1/2).(3/10) = 3/20
A probabilidade de escolher a sacola S2 e uma lata de atum em S2 será igual ao produto (1/2).[x/(x+6)] = x/(2x+12)Logo, pelo enunciado do problema, inferimos que a probabilidade da união desses eventos independentes será igual à soma dessas probabilidades e, deverá ser maior ou igual a 50% = 50/100 = 1/2.
Daí, vem tranquilamente:
3/20 + x/(2x+12) >= 1/2 onde o símbolo >= significa "maior ou igual a".
Nota: usei o símbolo >= apenas para adiantar o serviço mas, o símbolo normal continua válido. Simplesmente não quis achar no teclado, agora, para ganhar tempo!.Agora, vem: x/(2x+12) >= 1/2 - 3/20
x/(2x+12) >= 10/20 - 3/20
x/(2x+12) >= 7/20
Basta agora resolver esta inequação fracionária; mas, veja um detalhe importante: se x fosse um número real qualquer, ele poderia ser negativo e, por conseguinte, teríamos que resolver a inequação fracionária; mas, ocorre que x, sendo "o número de latas de atum (*)", sabemos que x é um número inteiro e positivo. Ora, se x é positivo, x+12 também será!Então, como as quantidades envolvidas são todas positivas, basta fazer o que segue:
[multiplicar em diagonal (analogamente ao conceito de proporção) , pois o sentido da desigualdade não vai mudar, já que ela - a desigualdade, só envolve números positivos.
Assim, teremos:20x >= 7(2x+12)
20x >= 14x + 84
6x>=84
x>=14Ora, como x>=14 (x maior ou igual a 14), o valor mínimo de x será 14, o que nos leva, tranquilamente a x = 14 e, à alternativa B de bola! [ou de BRAVO!].
Nota:(*) li na #superinteressante [edição especial - Os maiores erros da humanidade] que os cardumes de atuns já estariam em níveis críticos em 2011. E mais: a pesca do atum provocaria a morte de outras 145 espécies por acidente! Mas, infelizmente tenho certeza que a humanidade continuará a consumir o atum, devido ao "ômega3" neles presentes. !!! Quanto às sardinhas, ... elas também têm ômega3 ...
Feliz Natal a Todos!
Paulo Marques - 17 de dezembro de 2011.