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Quatro mulheres marcaram um encontro na porta de um supermercado que possui quatro portas; como se esqueceram de especificar em qual das portas se encontrariam, cada uma se dirigiu a uma porta escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade das quatro mulheres se dirigirem a quatro portas diferentes?
Nota: este problema foi enviado por um visitante do site, solicitando a solução. Ei-la:
Solução:
Sejam as portas P1, P2, P3 e P4 e sejam as mulheres M1, M2, M3 e M4.
Observem que:
M1 poderá escolher uma porta, de 4 modos distintos;
M2 poderá escolher uma porta, de 4 modos distintos;
M3 poderá escolher uma porta, de 4 modos distintos;
M4 poderá escolher uma porta, de 4 modos distintos.
Como as escolhas são eventos independentes entre si, o número total de modos de escolha será - pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC, igual ao produto 4.4.4.4 = 16.16 = 256 modos distintos.
Este número 256 representa o número total de possibilidades; para o cálculo da probabilidade solicitada, deveremos determinar o número de modos distintos da ocorrência do evento "as quatro mulheres se dirigirem a quatro portas distintas".
Lembrando que as posições das portas são fixas ou seja, invariantes, poderemos pensar nas seguintes configurações:
M1P1 M2P2 M3P3 M4P4
M2P1 M1P2 M3P3 M4P4
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Ora, as 4 mulheres poderão ser permutadas de 4! modos distintos ou seja, 4! = 4.3.2.1 = 24 modos distintos.
Infere-se então, que a probabilidade procurada será igual a p = 24/256 = 12/128 = 6/64 = 3/32
Esta probabilidade poderia até ser expressa na forma percentual, a saber: p = 3/32 = 0,0938 = 9,38%.
Resposta: a probabilidade procurada é igual a 3/32 ou de uma forma equivalente: 9,38%.
Paulo Marques, 10 de dezembro de 2011.