UFBA – 1991) Um edifício tem seis andares e dois apartamentos por andar.
Um representante de cada apartamento compareceu à reunião convocada para a
escolha da Diretoria do Condomínio, composta de um síndico, um secretário e
um tesoureiro. Sabendo-se que o número de Diretorias que poderiam ser
formadas, de maneira que o síndico e o secretário não morassem no mesmo
andar, é x, determine x /100.
Solução
: Veja a representação dos 6 andares, com 2
apartamentos por andar no esquema abaixo, onde R1, R2, ... , R12 são os
representantes de cada apartamento.
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5º andar |
R1 |
R2 |
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4º andar |
R3 |
R4 |
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3º andar |
R5 |
R6 |
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2º andar |
R7 |
R8 |
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1º andar |
R9 |
R10 |
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Térreo |
R11 |
R12 |
Observe que os vizinhos são R1R2, R3R4, R5R6, R7R8, R9R10 ou R11R12. Pelo
enunciado, se R1 for síndico, R2 (seu vizinho) não poderá ser secretário;
se R4 for síndico, R3 não poderá ser secretário, etc.
O problema pede para determinar o número x de Diretorias formadas de 3
componentes – síndico, secretário e tesoureiro – com a condição de que
o síndico e o secretário não morem no mesmo andar.
As Diretorias possíveis serão agrupamentos de 3 elementos da forma (A, B,
C).
Temos um total de 12 representantes R1, R2, ... , R12.
Vamos utilizar o Princípio
Fundamental de Contagem – PFC :
Para a primeira posição (síndico), teremos evidentemente 12
possibilidades de escolha.
Escolhido o síndico, sobram 11 pessoas. Ocorre que uma delas é o seu vizinho
e, pelo enunciado, não pode ser escolhido para secretário. Logo, para
a segunda posição (secretário), teremos apenas 10 possibilidades.
Escolhidos os dois membros da Diretoria, restam 12 – 2 = 10 pessoas e a
escolha do terceiro posto poderá ser feita então de 10 maneiras
possíveis.
Então, pelo Princípio Fundamental de Contagem – PFC ,
o número total x de possibilidades será igual a
x = 12.10.10 = 1200.
Portanto, existem 1200 maneiras de compor a Diretoria.
Como x = 1200, teremos x / 100 = 1200 / 100 = 12.
Nota: cabe aqui um esclarecimento do porquê da
questão solicitar o cálculo de x /100. Ocorre que o cartão de respostas
naquele vestibular, só poderia ser marcado com dois dígitos, de 00 a 99. A
resposta 1200 não seria aceita no cartão de respostas.
Observe que se não existisse a condicional de que não poderiam ser
escolhidos vizinhos para síndico e secretário, o número total de
possibilidades seria igual a 12.11.10 = 1320.
Observe também que se fosse perguntado: quantas Diretorias poderão ser
formadas com a condição de que o síndico e o secretário sejam sempre
vizinhos, a resposta seria evidentemente 1320 – 1200 = 120.
Agora resolva este:
Um edifício tem 10 andares e dois apartamentos por andar. Um representante de
cada apartamento compareceu à reunião convocada para a escolha da Diretoria
do Condomínio, composta de um síndico, um secretário e um tesoureiro.
a) determine o número de Diretorias que poderão ser formadas, de maneira que
o síndico e o secretário não morem no mesmo andar.
b) determine o número de Diretorias que poderão ser formadas, de maneira que
o síndico e o secretário sejam sempre vizinhos.
Resposta: a) 6480 b) 360
Paulo Marques, 24 de novembro de 2003 – Feira de Santana – BA - editado em
30/01/2011