Sobre as combinações complementares

Vimos em Análise Combinatória que o número de combinações simples de n elementos de um conjunto dado, tomados k a k, ou seja, de taxa k, é dado por:
C_{n , k} = n! / k! (n – k)!  onde n! = 1.2.3.4.5. ... .(n – 1).n, é denominado fatorial de n.

Exemplo: 
C_7,5 = 7! / 5! (7 – 5)! = 7! / 5! 2! = (7.6.5.4.3.2.1)/(5.4.3.2.1.2.1) = 21

Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e} formado por cinco elementos distintos.
As combinações desses cinco elementos tomados dois a dois são:
ab  ac  ad  ae  bc  bd  be  cd  ce  de , num total de 10 combinações.
Realmente são 10 combinações, pois:
C_5,2 = 5! / 2!(5 – 2)! =(5.4.3.2.1) / (2.1.3.2.1) = 10.

As combinações desses cinco elementos tomados três a três são:
abc  abd  abe  acd  ace  ade  bcd  bce , num total de 10 combinações.
Realmente neste caso, também são 10 combinações, pois:
C_5,3 = 5! / 3!(5 – 3)! = (5.4.3.2.1) / (3.2.1.2.1) = 10.

Observe que no conjunto dado, para cada combinação de taxa dois, corresponde uma única combinação de taxa três, ou seja, definida uma combinação de taxa dois, fica definida imediatamente uma outra combinação (dita complementar) de taxa três. Isto justifica o fato de que C_5,2 = C_5,3
Assim, por exemplo, no caso acima, poderemos escrever as combinações e suas respectivas combinações complementares:

Combinação                         Combinação complementar

ab                                                       cde
ac                                                       bde
ad                                                       bce
ae                                                       bcd
bc                                                       ade
bd                                                       ace
be                                                       acd
cd                                                       abe
ce                                                       abd
de                                                       abc

 De uma forma geral, num conjunto de n elementos, para cada combinação dos n elementos tomados k a k, ou seja, de taxa k, corresponderá uma única combinação complementar formada pelos n – k  elementos restantes e, portanto, deveremos ter sempre 
C_{n , k} = C_{n , n - k}.

Isto pode também ser verificado algebricamente, conforme mostraremos a seguir:

Já sabemos que :
 
C_{n , k} = n! / k! (n – k)!

Para C_{n , n - k} poderemos escrever:
C_n,n-k = n! / [(n – k)! [n – (n – k)] = n! / (n – k)! k! = C_{n , k}

Assim, poderemos exemplificar:

C_7,3 = C_7,4 porque 3 + 4 = 7.
C_{1000, 60} = C_{1000, 940} porque 60 + 940 = 1000.
C_{700, 100} = C_{700, 600} porque 100 + 600 = 700.

Genericamente,
C_{n , n - k} = C_{n , k}  porque (n – k) + k = n.

Um caso particular e importante é obtido fazendo k = 0 na igualdade acima, obtendo-se:
C_{n, n – 0} = C_n,0­  ou seja:  C_{n , n} = C_{n , 0} 

Pela fórmula C_{n , k} = n! / k! (n – k)! , fazendo k = 0, obteremos finalmente:
C_n,0 = n! / 0! (n – 0)! = n! / n! = 1, já que, por definição , o fatorial de zero é igual a 1 ou seja, 0! = 1.
Portanto, C_{n , n} = C_{n , 0} = 1.

Exercício resolvido
Determine o conjunto solução da equação C_{200 , 2x} = C_200,9-x
Solução:
Deveremos ter: 2x = 9 – x ou 2x + 9 – x = 200.
Da primeira, tiramos: 2x + x = 9 \x = 3.
Da segunda, tiramos: 2x – x = 200 – 9 \x = 191.
Logo, o conjunto solução é S = {3, 191}

Exercício proposto:
Resolva a equação C_{14, x+2} = C_{14, 5x}
Resposta: S = {2}.

Revise Análise Combinatória clicando AQUI .

Paulo Marques, 02 de junho de 2002 – Feira de Santana – BA.

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