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Uma poupança de dez anos |
UESC
2001 – Durante os 12 primeiros meses, após serem
admitidos, uma empresa paga um salário mensal de R$1000,00 a
seus funcionários e, de 12 em 12 meses, esse salário
sofre um aumento de 10%.
Se um funcionário completa 10 anos
de serviço e poupou 20% do total que recebeu durante todo esse
tempo, então o valor dessa poupança, em reais, é
de
01) [(11/10)10 – 1] x 24000
02)
[(11/10)11 – 1] x 24000
03) [1 – (1/10)10
] x 12000
04) [1 – (1/10)11 ] x 12000
05)
[(11/10)10 – 1] x 12000
Nota: UESC : Universidade Estadual de Santa Cruz -
ILHÉUS - BA
Solução:
É
claro que no primeiro ano, o salário total é igual a 12
x 1000 = 12000 reais.
Como de 12 em 12 meses (1 ano) o salário
mensal sofre um incremento de 10%, podemos concluir que no segundo
ano, o salário total será igual a 12000 x 1,10
(já que o aumento anual é de 10%). Com o mesmo
raciocínio, no terceiro ano, o salário total será
igual ao do mês anterior multiplicado por 1,10 (já que o
aumento anual é de 10%), ou seja
12000 x 1,10 x 1,10 =
12000 x 1,102 e assim
sucessivamente.
Teremos então a seguinte seqüência
de números reais:
12000
; 12000 x 1,10 ; 12000x1,102 ; ...
Vemos
facilmente que trata-se de uma Progressão
Geométrica – PG, de primeiro termo
a1
= 12000 e razão q = 1,10 = 11/10.
Para o cálculo
do faturamento total nos 10 anos, teremos que calcular a soma dos 10
primeiros termos desta PG.
A fórmula da soma dos n
primeiros termos de uma PG de primeiro termo a1 e
razão q é dada por
Sn = a1
. (qn – 1) / (q – 1)
Substituindo os
termos, vem:
S10 = 12000 . (1,1010 –
1) / (1,10 – 1)
S10 = 12000 . (1,1010
– 1) / 0,10
S10 = 120000 . (1,1010
– 1)
Ora, o empregado economizou (poupou) 20% deste
valor. Logo, o valor poupado foi igual a:
P = 20% . 120000 .
(1,1010 – 1) = 0,20 . 120000 . (1,1010 –
1) = 24000 . (1,1010 – 1)
Como 1,10 = 11/10,
podemos também escrever este resultado na forma
P =
24000 . [(11/10)10 – 1)
Portanto,
a alternativa correta é a de número (01).
Apenas
a título ilustrativo, usando uma calculadora científica (a do Windows
também serve) encontraremos o valor total da
poupança: R$ 38.249,82 .
Paulo
Marques, 18 de janeiro de 2002 – Feira de Santana – BA
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