Em um caminho retilíneo
há um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas ao longo do caminho. A distancia entre quaisquer duas roseiras consecutivas é 1,5 m.
Nesse caminho, há ainda uma torneira a 10 m da primeira roseira.
Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um
regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar três roseiras. Dessa forma,
Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se para a 1ª roseira, molha-a,
caminha até a 2ª roseira, molha-a e, a seguir, caminha até a 3ª roseira,
molhando-a também, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica vazio,
Gabriel volta à torneira, enche o regador e repete a rotina anterior para as três
roseiras seguintes. No momento em
que acabar de regar a última das roseiras, quantos metros Gabriel terá
percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez?
Nota: este arquivo foi enviado para solução por
um ilustre visitante do site.
Solução:
Sejam r1, r2, r3,... , r48, r49,
r50 e r51 as 51 roseiras. Veja o esquema a seguir:
Nota: nomear as roseiras desta forma, lembra-me a
história dos três porquinhos: considere três porquinhos P1, P2 e P3 numa floresta!. Rarará... ...
Nota: esta figura veio anexa ao arquivo que o nosso amigo internauta e visitante do site me enviou para resolução; não fui autorizado por ele a publicar o seu nome, mas, ele
se auto-intitulou "concurseiro". Rarará ... ...
Podemos observar que:
a) quando Gabriel tiver molhado a roseira r48, o regador estará
vazio; ele terá que voltar para enchê-lo, retornar à roseira r48 e
avançar, molhando as roseiras r49, r50 e r51;
aí, o regador estará novamente vazio, mas, ele não terá mais que retornar para enchê-lo
novamente, uma vez que o objetivo de molhar as 51 roseiras terá sido alcançado.
b) todos os movimentos de Gabriel até a roseira r48 são de ida e
volta. Como são três roseiras a cada movimento, teremos 48/3 = 16 movimentos de
ida e volta. Após isto, haverá mais um movimento (aquele da finalização
da tarefa), totalizando 17 movimentos, sendo 16 de ida e volta à origem
e um, apenas de ida. Observe que
estes 17 movimentos podem também ser inferidos do que segue: 51 roseiras
distribuídas em conjuntos de três , resultará, nas condições descritas no
enunciado em 51/3 = 17 movimentos.
Então, os 16 movimentos iniciais de Gabriel poderão ser assim descritos:
1º movimento (de ida e volta): da
torneira até a roseira r1: 10 + 2.1,5 = 13 m
2º movimento (de ida e volta): 13 + 3.1,5 = 17,5 m
3º movimento: (de ida e volta): 17,5 + 3.1,5 = 22 m
4º movimento: (de ida e volta): 22 + 3.1,5 = 26,5 m
5º movimento: (de ida e volta): 26,5 + 3.1,5 = 31 m
e assim, sucessivamente, até o 16º
movimento (também de ida e volta).
Como esses 16 movimentos são de ida e volta, poderemos escrever a
seguinte seqüência numérica das
distancias percorridas a cada movimento:
<sn> : (13; 13; 17,5; 17,5; 22; 22; 26,5; 26,5; 31; 31; ...)
Dá para perceber de relance, que a seqüência
numérica acima poderá ser decomposta em duas seqüências iguais a saber:
<xn>: (13; 17,5; 22; 26,5; 31; ...) e <yn> =
(13; 17,5; 22; 26,5; 31; ...)
Observem que ambas as seqüências <xn> e <yn>
são iguais e que ambas são Progressões
Aritméticas – PA’s
de razão 4,5
(caso você visite este link, para retornar,
clique em VOLTAR no seu navegador).
Efetuando
a soma dos 16 termos de cada uma dessas PA’s, teremos determinado a soma total
dos 16 movimentos de ida e volta.
Então,
Já sabemos que a soma dos n primeiros termos de uma PA de primeiro termo a1,
n-ésimo termo an é dada
por
.
Como
n = 16, vem que a16 = a1 + (n – 1).r = 13 + (16 – 1).4,5
= 80,5
Substituindo os valores conhecidos na fórmula da soma acima, teremos:
S16
= (13 + 80,5).16/2 = (93,5).8 = 748 m
D = 2.748 = 1496 m
Agora, observe que a distancia calculada acima, refere-se ao total das movimentações de ‘ida e volta’; então, ao final desse 16º movimento, Gabriel estará no início do percurso, junto à torneira; lembre-se que ao regar a roseira r48 , o regador ficou vazio e ele teve que voltar! Portanto, falta acrescentar a distancia da torneira até a última roseira r51. Ora, entre a roseira r1 e a roseira r48 existem 47 espaços iguais a 1,5 m , totalizando 47.1,5 = 70,5 m .
Logo, a distancia d do último movimento será igual a d = 70,5 + 10 + 3.(1,5) = 85 m
Nota: 10 m é a distancia da torneira à roseira r1 , e 3.1,5 as três últimas distancias percorridas de r48 a r51 .
Finalmente, a distancia total percorrida será igual a y = D + d = 1496 + 85 = 1581 m
Portanto, Gabriel, o jardineiro, terá percorrido 1581 m.
Agora, resolva este:
Vamos botar o Gabriel para trabalhar mais!
Em um caminho retilíneo há um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas ao longo do caminho. A distancia entre quaisquer duas roseiras consecutivas é 10 m. Nesse caminho, há ainda uma torneira a 100 m da primeira roseira.
Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar três roseiras. Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se para a 1ª roseira, molha-a, caminha até a 2ª roseira, molha-a e, a seguir, caminha até a 3ª roseira, molhando-a também, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica vazio, Gabriel volta à torneira, enche o regador e repete a rotina anterior para as três roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a última das roseiras, quantos metros Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez?
Resposta: 11640 m
Paulo Marques - 17 de fevereiro de 2008 - Feira de Santana - BA