| Área de uma rosácea de oito pétalas |
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A solução do problema a seguir, depende de noções de Cálculo Integral, tópico
de Matemática Superior
a ser visto na Universidade nos cursos regulares da área de Ciências Exatas. Se você ainda não estudou Cálculo Integral, apenas aprecie a questão e guarde-a como referencia para revê-la no futuro. |
Determine
a área da rosácea de 8 pétalas, cuja equação polar é r = a.cos4q.
SOLUÇÃO:
A equação polar da rosácea de 8
folhas é r = a.cos4q.
Observe por exemplo na figura acima, que para q
= 0, cos4q
= cos 0 = 1 e, por conseguinte, r = a.1 = a.
Para q
= p/8,
cos4q
= cos 4p/8
= cos p/2
= 0 e, em consequência, r = a.0 = 0.
Pela figura, vê-se facilmente que basta calcular a área da meia pétala limitada entre 0 e p/8 radianos e multiplicar o resultado por 16 para obter a área total, uma vez que as 16 semi-pétalas formam a rosácea de 8 pétalas.
Já sabemos do Cálculo Integral,
que a área de um curva
r = f(q)
dada em coordenadas polares,
delimitada entre q
= a e q
= b é dada pela fórmula abaixo:
Assim, substituindo os valores conhecidos, fica:
Teremos:
Já sabemos da Trigonometria que:
Portanto,
Substituindo na integral, fica:
Calculando a integral definida do segundo membro, lembrando que:
Obteremos S = a2.p/32
A área total será então St = 16S = a2.p/2
Portanto, a área da rosácea de
oito pétalas mostrada na figura dada no problema é igual a
St = pa2/2.
Paulo
Marques, 16/06/2001 – Feira de Santana – BA - editado em 02 de abril 2008.