Exercícios de Logaritmos III

Se  n = log(11/15) + log(490/297) – 2 log(7/9) então 10ⁿ é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Solução:

Lembramos inicialmente que,quando a base do sistema de logaritmos não é informada, subtende-se que a base é 10, ou seja:

log A = log₁₀A

Aplicando as seguintes propriedades operatórias dos logaritmos: 

P1) log (a / b) = log a – log b  (logaritmo de um quociente).
P2) log (a . b) = log a + log b  (logaritmo de um produto).
P3) log a^m = m.log a  (logaritmo de uma potencia).

teremos:

n = log(11/15) + log(490/297) – 2 log(7/9)

n = log 11 – log 15 + log 490 – log 297 – 2(log 7 – log 9)

Observando que:
15 = 5.3  ,  490 = 2.5.7² ,  297 = 3³.11  e   9 = 3²

Vem imediatamente:
n = log11 – log(3.5) + log(2.5.7²) – log(3³.11) – 2.log7  +  2.log3²

Desenvolvendo, fica:
n = log11 – (log5 + log3) + (log2 + log5 + log7²) – (log3³ + log11) – 2.log7 + 4.log3)

Eliminando os parênteses e simplificando, vem:
n = log11 – log5 – log3 + log 2 + log5 + 2.log7 – 3.log3 – log11 – 2.log7 + 4.log3

De onde conclui-se:   n = log 2
Portanto, 10ⁿ = 10^log2 = 2
Nota: 10^{log n} = n.

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Paulo Marques, 01 de julho de 2001.

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