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Determinando um logaritmo numa calculadora científica |
A questão a seguir, compareceu num vestibular da UERJ e foi enviada por um visitante da página através e-mail de 13/01/2004, solicitando a resolução.
UERJ –
Em uma calculadora científica de 12 dígitos, quando se
aperta a tecla LOG, aparece no visor o logaritmo decimal do número
que estava no visor. Se a operação não for
possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar
42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a
tecla LOG para que no visor apareça ERRO pela primeira vez
é:
a) duas vezes
b) três vezes
c) quatro
vezes
d) cinco vezes
e) oito vezes
Solução:
Já
sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é
indicado por logN, que representa o logaritmo de N na base 10.
Já
sabemos que se log N > 0 então N > 1 e que
se log N < 0 então 0 < N < 1.
Se
necessario, revise logaritmos.
Seja Ai
o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo
toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por
exemplo, no primeiro toque, A1, no segundo toque, A2,
no terceiro toque, A3 e assim sucessivamente.
Vamos
considerar que o número introduzido na calculadora para o
cálculo do log seja
A0 = 48 bilhões = 48 000 000 000 =
4,8.1010.
Teremos então:
A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010
A1
= log A0 = log (4,8.1010) = log4,8 + log1010
= 10 + log4,8
Então:
A2
= log A1 = log (10
+ log4,8)
Ora, como 100 < 4,8 < 101,
podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e
1 e, portanto, da forma 0,m (um número decimal entre 0
e 1).
Então, A1
= 10 + log4,8 = 10 + 0,m = 10,m
, que é um número entre
10 = 101 e 100 =
102.
Nestas condições, teremos:
A2
= log A1 = log (10,m)
Como 101 < 10,m < 102 , podemos
concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja,
log (10,m) será
um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um
número decimal entre 1 e 2), ou seja
log A2 =
1,n.
Portanto,
A3 = log A2= log
(1,n)
Como 1,n
é um número decimal entre 1 = 100 e 10 =
101, podemos afirmar que
log (1,n) será um
número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p
.
Portanto, A3 = 0,p
A4
= log A3 = log (0,p)
Ora, como 0,p
é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p
< 1, já sabemos que o resultado será um número
negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é
negativo. Portanto, A4 é menor do que zero, ou seja, um número negativo.
Logo,
A5 = log A4 e como A4 é
negativo (menor do que zero) e já sabemos que não
existe logaritmo decimal de número negativo, a calculadora vai
apresentar mensagem de ERRO. Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A5 -
ao teclar LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.
Agora
resolva este da FUVEST na década de 90:
FUVEST
1990) Pressionando a tecla LOG de uma calculadora, aparece no visor o
logaritmo decimal do número que estava no visor. Digita-se
inicialmente o número 88888888 (oito oitos). Quantas vezes a
tecla LOG precisa ser pressionada para que apareça a mensagem
de erro?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Resposta:
B
Paulo
Marques, 14 de janeiro de 2004 – Feira de Santana - BA
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