Geometria VIII - Duas circunferências secantes

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Determine a área da parte hachuriada da figura abaixo, sabendo-se que:
a) o raio da circunferência g mede 1 u.c.
b) o raio da circunferência d mede Ö2 u.c.
c) O centro O da circunferência  d  pertence à circunferência g.
Nota: u.c. = unidade de comprimento.

Observação: a figura hachuriada chama-se LÚNULA. Clique AQUI para saber mais.
 

Solução:  

Nota: duas circunferências são ditas  secantes,  quando se interceptam em dois pontos, como indicado na figura acima.

Considere a figura a seguir:

Pelos dados do problema, teremos:
OA = OB = raio da circunferência d = Ö2

OC = CD = raio da circunferência g = 1

Vê-se imediatamente, que os triângulos OCA e OCB são retângulos, pois obedecem ao teorema de Pitágoras, ou seja: 1² + 1² = (Ö2)².

A área S procurada será igual então a:

S  = S_{semicircunferencia ADBCA} – S_{segmento AEBCA}

A área da região limitada por uma circunferência de raio R, é, como sabemos, igual a  p.R².

Logo:

S_{semicircunferencia ADBCA} = (p.R²) / 2 = p.1² / 2 = p/2

Para o cálculo de S_{segmento AEBCA} , observe na figura anterior, que ela será igual à área do setor circular OAEBO menos a área do triângulo OAB.

Como o ângulo AOB é reto, conforme já vimos acima, fica:

Área do setor circular OAEBO = [p.(Ö2)²] / 4 = p / 2.
Área do triângulo AOB = (Ö2). (Ö2) / 2 = 1
Logo, S_{segmento AEBCA} = (p / 2) – 1. 

Daí, lembrando que a área S procurada é igual a:

S  = S_{semicircunferencia ADBCA} – S_{segmento AEBCA}

Vem finalmente: S = (p / 2) – [(p / 2) – 1] = 1

Portanto, a área procurada é igual a 1 u. a. onde u. a. significa unidade de área.

Visite o seguinte arquivo para saber mais.

 

Paulo Marques – Feira de Santana, 01 de dezembro de 2001.(editado em 31/12/2003)

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