| Geometria V - Uma estrela de sete pontas |
Determine a soma dos ângulos A, B, C, D, E, F e G na figura abaixo.
Solução:
Desejamos calcular o valor da soma de ângulos
S = A + B + C + D + E + F + G
Da simetria da
figura, os ângulos A, B, C, D, E, F e G possuem a mesma medida e, portanto, a
soma S será igual a:
S = A + A + A + A + A + A + A = 7.A
S = 7.A
Temos agora que calcular o valor do ângulo A.
Veja a figura a seguir:
Podemos escrever:
A + x + x = 180º (lei angular de Tales).
A + 2x = 180º
x + y =
180º (ângulos suplementares).
Das igualdades acima, vem: A + 2x = x + y;
logo, A = x + y – 2x = y – x.
A = y –
x
Como x
+ y = 180º, vem que x = 180º - y
Substituindo, vem:
A = y –
(180º - y) = 2y – 180º
Basta calcular o ângulo y, que é o ângulo interno do
heptágono regular, na figura dada no enunciado do problema.
O ângulo interno de um polígono regular de n lados é dado
por:
Logo, o ângulo y será dado por:
y = [(7 – 2).180º] / 7 = (5.180º)/7 (n = 7 = número de lados do
heptágono).
Portanto, como já sabemos que A = 2y – 180º, vem:
A = 2[(5.180º)/7] – 180º = (1800/7) – 180
Finalmente, vem, lembrando que a soma procurada é igual a
S = 7.A
S = 7[(1800/7) – 180] = 1800 – 1260 = 540º
Portanto, o valor da soma dos sete ângulos indicados na figura é igual a 540º.
Resposta: 540º
Paulo Marques, 19 de novembro de
2000 - editado em 04 de fevereiro de 2012.