| Geometria IV - Semelhança de triângulos |
Considere a figura a seguir, onde
estão construídos dois triângulos ABC e PQR, obedecendo a um critério
particular, definido pelas igualdades:
OP = k.OA
(1)
OQ = k.OB (2)
OR
= k.OC (3)
onde k é um número real positivo.
Usando a notação de Grassmann
para vetores ,
podemos escrever as igualdades acima, como:
P – O = k.(A – O)
(4)
Q – O = k.(B – O) (5)
R – O = k.(C – O) (6)
Subtraindo convenientemente estas
igualdades, duas a duas, obteremos:
(5) – (4): Q – P = k.(B – A)
\
PQ = k.AB
(6) – (4): R – P = k.(C – A)
\
PR = k.AC
(6) – (5): R – Q = k.(C – B) \
QR = k.BC
Observe então que as medidas dos lados PQ, AB, PR, AC, QR e BC, são, duas a duas, proporcionais, pois podemos escrever baseado nas três últimas igualdades acima, que:
Os triângulos ABC e PQR, nestas
condições, são ditos homotéticos, homólogos ou semelhantes,
sendo k a razão de semelhança.
Indicamos esta semelhança na
forma:
DABC
~ DPQR
Se k = 1, os triângulos são
ditos congruentes.
Verifica-se que triângulos
semelhantes possuem a mesma forma, diferindo apenas nas dimensões, que são
proporcionais. Queremos dizer com isto, que a semelhança mantém invariante a
forma, embora variem as dimensões.
Já sabemos que a soma dos ângulos
internos de um triângulo vale 180º. Assim, é que se dois triângulos possuírem
dois pares de ângulo de mesma medida, inevitavelmente o terceiro par de ângulos
serão também de mesma medida. Ora, se os ângulos internos de dois triângulos
possuem a mesma medida, estes triângulos possuirão a mesma forma, podendo
diferir nas dimensões, a exemplo da figura abaixo.
Estas considerações, permitem resumir o principal caso de semelhança de triângulos:
SE DOIS TRIÂNGULOS
POSSUEM DOIS ÂNGULOS INTERNOS DE MESMA MEDIDA, ENTÃO ELES SÃO SEMELHANTES.
Este caso de semelhança, permite resolver todos os problemas de semelhança de triângulos que possam ser apresentados.
Para resolver problemas envolvendo
semelhança de triângulos, propomos o seguinte roteiro simples:
1 – identifique os triângulos semelhantes, e os desenhe separadamente, identificando os ângulos de mesma medida, com marcações iguais.
2 – vencida a etapa 1 acima, os
lados proporcionais, serão aqueles opostos aos ângulos de marcações iguais.
Apesar de sabermos que triângulos
semelhantes possuem a mesma forma, nem sempre nas provas, os desenhos são
mostrados em escala , de forma que, para identificar triângulos semelhantes, não
se detenha apenas na forma das figuras apresentadas, o que pode confundir.
Utilize o critério de semelhança visto acima.
Veja a figura a seguir:
Exercício resolvido:
Determine a medida x na figura abaixo:
Solução:
Observe que os triângulos ABD e CBD são semelhantes, pois possuem dois ângulos de mesma medida: o ângulo comum D e aqueles marcados em amarelo. Separando os triângulos, vem:
Comparando os lados correspondentes marcados nas duas figuras acima, vem imediatamente que:
BD
/ CD = AD / BD = AB / BC
Substituindo os valores, vem:
10 / 4 = (x + 4) / 10
Resolvendo a equação acima,
fica:
4(x + 4) = 10.10
x + 4 = 100/4
x + 4 = 25 \
x = 21
Resp: x = 21
Exercício proposto:
Determine a medida
x na figura abaixo,
sabendo-se que:
AB
= 8 cm
AD = 17 cm
ED = 5 cm
Resposta: x = 8/3
cm.
Nota: figuras executadas por meu filho Rafael, 14.
Paulo
Marques, Feira de Santana, 27 de agosto de 2000.