Geometria XIV - UFBA 1993

Rebatimento das faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular sobre o plano da base.

UFBA 1993 - Rebatendo-se as faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular sobre o plano da base, externamente a esta, os quatro rebatimentos do vértice da pirâmide determinam um quadrado com 8 m de lado. Os vértices da base são os pontos médios dos apótemas do quadrado de 8 m de lado. Sendo x m² a área total da pirâmide, determine x .

Notas:
1) UFBA – Universidade Federal da Bahia
2) Este problema é um pouco trabalhoso. Tenha paciência.

Solução:

Construímos a figura abaixo, seguindo as instruções do enunciado da questão.

Os triângulos CMN, BMP, APO e DON são as faces laterais da pirâmide, rebatidas sobre o plano da base. Os pontos M, N, O e P são os vértices da base quadrada da pirâmide.
Os apótemas do quadrado ABCD são os segmentos FR, RH, GR e RE. Sabemos que a medida do apótema de um quadrado de lado L é igual a L / 2. Portanto, como é dito no enunciado que o lado do quadrado ABCD mede 8 m, teremos que FR = RH = GR = RE = 4 m

Para calcular a área total da pirâmide, basta somar a área da base MNOP com as áreas das faces laterais CMN, BMP, APO e DON.


Como os vértices do quadrado da base – pelo enunciado – são os pontos médios dos apótemas do quadrado ABCD de 8 m de lado, é claro que poderemos escrever observando a figura acima: 
FM = FR / 2 = 4 / 2 = 2 m. Como FR é um apótema do quadrado ABCD então F é ponto médio de BC e, portanto, FC = 4 m , pois BC = 8 m, conforme enunciado.

Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo FMC, vem:
FM² + FC² = CM² \ 2² + 4² = CM² \ CM² = 20 \ CM = Ö 20 m

Como FM = MR (pois de acordo com o enunciado, M é o ponto médio da apótema do quadrado, teremos que MR= 2 , pois já vimos que FM = 2).


Como MR=NR (metade das diagonais do quadrado PMNO), poderemos aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo RMN, obtendo: MR² + NR² = MN²
Portanto, 2² + 2² = MN²
Daí, vem imediatamente que MN = Ö 8

Como o triângulo CMN é isósceles, podemos afirmar que MJ = JN = MN / 2 = (Ö 8) / 2

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo CMJ, vem:
MJ² + CJ² = CM²
Substituindo os valores conhecidos, fica:

[(Ö 8) / 2]² + CJ² = (Ö 20)²
8/4 + CJ² = 20 \ CJ² = 18 \ CJ = Ö 18

Ora, CJ é a altura do triângulo isósceles CMN. Portanto, a área do triângulo CMN será igual a: 

S = (1 / 2). MN. CJ = (1/2) . Ö 8 . Ö 18 = (1/2) . Ö 144 = (1/2).12 = 6

Como são 4 triângulos iguais, teremos: 4.6 = 24
Falta calcular a área do quadrado PMNO: Como o lado MN = Ö 8, vem imediatamente que
a área do quadrado PMNO será igual a (Ö 8)² = 8.

Sendo x m² a área total da pirâmide, conforme enunciado da questão, finalmente, teremos: x = 24 + 8 = 32 , número que representa a área total da pirâmide.
Portanto, a área total da pirâmide é igual a 32 m² , o que significa que o x do problema é igual a 32.

Nota: este problema, embora não seja difícil, é muito trabalhoso. Recomendo imprimir e estudar o arquivo para um melhor aproveitamento.

Agora resolva este:

Qual o volume da pirâmide do problema anterior?

DICA: Observe que VM nesta figura, corresponde a CJ na figura do problema resolvido acima e, portanto, é igual a Ö 18. Para calcular a altura H da pirâmide, aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo 
VOM. Antes calcule o comprimento de OM , que coincide com o comprimento de RJ na figura do primeiro problema e conclua que OM = Ö 2. Agora já temos todos os elementos necessários para calcular o volume.
Lembre-se que o volume de uma pirâmide é igual a 1/3 vezes a área da base vezes a altura.
V = (1/3).S_b.H

Resposta: Volume = 32 / 3 m³

Paulo Marques, 02 de novembro de 2003, Feira de Santana - BA, idem 15/10/06.

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