Codornas, patos e galinhas

De quantas formas distintas poderemos adquirir 100 aves, entre galinhas, codornas e patos, sabendo-se que os preços unitários de cada ave são $ 5,00, $ 2,00 e  $ 10,00 respectivamente, se pretendemos gastar exatamente $ 500,00?
Qual o número máximo de galinhas que podem ser adquiridas?
Qual o número máximo de codornas que podem ser adquiridas?
Qual o número máximo de patos que podem ser adquiridos?

Solução:

Sejam x galinhas, y codornas e z patos, a serem adquiridos.
Pelo enunciado da questão, poderemos escrever:

x + y + z = 100
5x + 2y + 10z = 500

Temos um sistema de equações lineares de duas equações e três incógnitas, para ser resolvido. Observe que, pela natureza do problema, as variáveis x,   y  e  z só podem assumir valores inteiros positivos, pois referem-se a quantidades de galinhas, codornas e patos.

Multiplicando a primeira equação por 5, vem:
5x + 5y + 5z = 500

O nosso sistema fica então :
5x + 5y + 5z   = 500
5x + 2y + 10z = 500

Subtraindo membro a membro, a segunda equação da primeira, fica:
3y – 5z = 0  \ y = 5z/3

Substituindo o valor encontrado para y acima, na equação x + y + z = 100, vem :
x + 5z / 3 + z = 100  \ x = 100 - 5z / 3 – z = 100 - 5z / 3 - 3z / 3 = 100 – 8z/3
x = 100 – 8z/3

Portanto, a solução do sistema de equações lineares é representada pelo terno ordenado (100 – 8z/3, 5z/ 3, z) onde z é um inteiro positivo.

Fazendo, por exemplo, z = 1, obteremos a solução :
x = 100 – 8.1/3 = 100 – 8/3 = 300/3 – 8/3 = 292/3
y = 5z/3 = 5.1/3 = 5/3
z = 1

Portanto, o terno ordenado (292/3, 5/3, 1) é uma solução do sistema de equações, mas, não atende ao problema, já que x, y e z , referem-se a quantidades de galinhas, codornas e patos respectivamente.

Teremos que determinar os valores inteiros de x, y e z.
Temos y = 5z/3. Para que y seja um inteiro, z deve ser um múltiplo de 3, ou seja, deveremos ter z = 3k, com k inteiro e positivo.

Substituindo z = 3k  em x = 100 – 8z/3 e y = 5z/3, obteremos:
x = 100 – 8k
y = 5k
z = 3k

Temos então, que os ternos ordenados formados por inteiros, que satisfazem ao sistema de equações, serão da forma (100 – 8k, 5k, 3k) onde k é um inteiro.

Como x, y e z são positivos, poderemos escrever:
100 – 8k > 0  \ 100 > 8k  \ 8k < 100  \ k < 100/8  \ k < 12,5
Também deveremos ter 5k > 0 \ k > 0.

Portanto, k deve assumir valores inteiros maiores do que zero e menor do que 12,5. Logo, os valores possíveis para k serão 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.

Concluímos então que existirão 12 ternos ordenados de números inteiros que satisfazem ao problema dado.

Portanto, a aquisição poderá ser feita de 12 formas distintas, obtidas fazendo-se sucessivamente k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 nas soluções gerais
x = 100 – 8k (quantidade de galinhas)
y = 5k (quantidade de codornas)
z = 3k (quantidade de patos).

Fazendo as substituições indicadas, obteremos:

Para k = 1, vem  x = 92,  y = 5  e  z = 3.
Para k = 2, vem  x = 84,  y = 10 e z = 6 e assim, sucessivamente.
Veja o resumo, na tabela a seguir:

GALINHAS	CODORNAS	PATOS
92	5	3
84	10	6
76	15	9
68	20	12
60	25	15
52	30	18
44	35	21
36	40	24
28	45	27
20	50	30
12	55	33
4	60	36

Observe que em cada alternativa possível, será gasto exatamente $500,00.

Exemplo: 92 galinhas, 5 codornas e 3 patos custarão: 
92.5 + 5.2 + 3.10 = 500, etc

Da simples leitura da tabela acima, poderemos concluir facilmente que:
Número máximo de galinhas = 92
Número máximo de codornas = 60
Número máximo de patos = 36

Agora resolva este:

De quantas maneiras distintas poderemos adquirir 100 aves, entre codornas, galinhas e patos, sabendo-se que os preços unitários de cada ave são $ 1,00, $ 10,00 e $ 20,00 respectivamente, se pretendemos gastar exatamente $ 200,00?

Resposta: Apenas uma maneira: 1 pato, 90 codornas e 9 galinhas.

Paulo Marques, 22 de junho de 2002 – Feira de Santana – BA        Editado em 25/03/2017.

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