Sistemas Lineares II

1 - Sistema linear

É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x_1, x₂, x₃, ... , x_n) do tipo:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂
a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = b₃
.................................................................
.................................................................
a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ + ... + a_mnx_n = b_n

Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a_11, a₁₂, ... , a_1n, ... , a_m1, a_m2, ..., a_mn são denominados coeficientes e b_1, b₂, ... , b_n são os termos independentes.
A ênupla (a ₁, a ₂ , a ₃ , ... , a _n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:
1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares

S1:	2x + 3y = 12
	3x - 2y = 5

S2:	5x - 2y = 11
	6x + y = 20

são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!

2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b₁ = b₂ = b₃ = ... = b_n = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0

2 - Exercícios Resolvidos

2.1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas

S1:	x + y = 1
	x - 2y = -5

S2:	ax - by = 5
	ay - bx = -1

são equivalentes, então o valor de a² + b² é igual a:

a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10

Solução:

Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S₁:
x + y = 1
x - 2y = -5

Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S₂. Logo, substituindo em S₂ os valores de x e y encontrados para o sistema S₁, vem:
a(-1) - b(2) = 5 Þ - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 Þ 2 a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),
fica: -3b = 9 \ b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a² + b² = 1² + (-3)² = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.

2.2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.

Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.

Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.

Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:

a) 2x + 5y .- ..z = 10
.............3y + 2z = ..9
.....................3z = 15

b) 3x - 4y = 13
.....6x - 8y = 26

c) 2x + 5y = 6
....8x + 20y = 18

Resposta:
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 28/08/1999.

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