ALGUNS QUADRADOS MÁGICOS ENTRE TANTOS OUTROS

Considere os números naturais 1, 2, 3, .. , n.
Se n for um quadrado perfeito maior do que 4, ou seja, n = 9, 16, 25, 36, ..., sempre poderá ser construído um quadrado de lado Ön (raiz quadrada de n) com estes n números naturais. Naturalmente que este quadrado será formado por Ön linhas e Ön colunas. Este quadrado será dito um QUADRADO MÁGICO se e somente se a soma dos elementos de qualquer linha, coluna, ou diagonal, for igual a uma constante inteira k.

Exemplo de um quadrado mágico:

2	9	4
7	5	3
6	1	8

Observe que neste quadrado mágico de nove elementos, os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 estão dispostos de forma que a soma dos elementos de qualquer linha, coluna ou diagonal é sempre igual a 15. Diz-se que este quadrado mágico possui constante 15, pois a soma de todos os elementos de qualquer linha, coluna ou diagonal é igual a 15.

Repare que para n = 4, não será possível construir um quadrado mágico nas condições explicitadas na definição acima. Aliás, lê-se no livro As Maravilhas da Matemática – 3ª edição – Editora Block – de autoria do Prof. Malba Tahan , que “segundo Cornélio Agripa (1486 – 1535), (Enrique Cornélio Agripa de Nettesheim, médico, alquimista e matemático alemão nascido em Colônia), o quadrado mágico com quatro elementos não existiria pois esse quadrado iria simbolizar o mundo material com os quatro elementos: o ar, a terra, o fogo e a água e, por conseqüência das imperfeições desses quatro elementos o quadrado mágico não poderia existir”.

Exemplos:
Veja mais três quadrados mágicos a seguir:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Observe que nestes quadrados mágicos de nove elementos, os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 estão dispostos de forma que a soma dos elementos de qualquer linha ou diagonal é sempre igual a 15. Diz-se que estes quadrados mágicos possuem constante 15.

15	10	3	6
4	5	16	9
14	11	2	7
1	8	13	12

Repare que neste quadrado mágico de dezesseis elementos, os números 1, 2, 3, 4, ..., 14, 15 e 16 estão dispostos de forma que a soma dos elementos de qualquer linha ou diagonal é sempre igual a 34.
34 é então, a constante deste quadrado mágico.

Nota: Observe que pela disposição dos números em linhas e colunas, bem que poderíamos denominar os quadrados mágicos, como matrizes mágicas. Claro que o adjetivo mágico, tem alguma relação com o misticismo que os povos antigos associavam aos números. Consta nos livros de História da Matemática que os QUADRADOS MÁGICOS foram abordados inicialmente na China antiga, em um tempo remoto, algo da ordem de 3000 anos atrás.

Segundo Malba Tahan, “quando os elementos de um quadrado não são os números naturais seqüenciais
1, 2, 3, ... , n, o quadrado é denominado quase-mágico”.

Exemplo:

15	25	2
1	14	37
26	3	13

Repare que este quadrado quase-mágico possui constante 42.
De uma forma geral, os admiradores dos quadrados mágicos não fazem distinção entre os aqueles mágicos e os quase-mágicos. Consideram como QUADRADOS MÁGICOS todos aqueles formados por n² elementos, dispostos em n linhas e n colunas tais que a soma dos elementos de qualquer linha, coluna ou diagonal seja um valor constante k, denominado constante do QUADRADO MÁGICO. Alguns a denominam de “constante mágica” , embora não exista nada de mágico no conceito.

Exercício resolvido:

Considere que o quadrado a seguir é mágico.

a	b	c
x	14	27
26	d	13

Pede-se determinar a sua constante.

Solução:

Pela definição teremos:
a + b + c = k
x + 14 + 27 = k
26 + d + 13 = k
a + 14 + 13 = k
26 + 14 + c = k
a + x + 26 = k
b + 14 + d = k
c + 27 + 13 = k , onde k é a constante do quadrado.

Efetuando as operações indicadas, fica:
a + b + c = k
x + 41 = k
d + 39 = k
a + 27 = k
40 + c = k
a + x + 26 = k
b + 14 + d = k

Igualando as duas expressões em negrito acima, já que ambas são iguais a k, vem:
d + 39 = b + 14 + d \ 39 = b + 14 \ b = 39 – 14 = 25.

De 40 + c = k e a + b + c = k, vem que 40 + c = a + b + c . Substituindo o valor de b e simplificando, fica:
40 = a + 25 \ a = 15.

Como já conhecemos o valor de a e como a + 27 = k, vem imediatamente que
15 + 27 = k = 42, ou seja, a constante k procurada é igual a 42.

Claro que existem outros caminhos para a solução desse sistema , dependendo da ordem de utilização das igualdades vistas acima.

Agora resolva este:

Sabendo-se que o quadrado abaixo é mágico, calcule o valor de x.

a	b	c
3	5	x
8	d	6

Resposta: x = 7
Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 04 de janeiro de 2006.

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