Curiosidade I - O Problema dos quatro quatros. Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de autoria do grande brasileiro Malba Tahan.
- O problema dos quatro quatros é o seguinte:
- Escrever, com quatro quatros e alguns sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado.
Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: logaritmo , limite , etc. Podem entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial, (termial)* e raiz quadrada.
(*) no enunciado original de Malba Tahan, o "termial" não é citado.Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100 e isto é verdadeiro, conforme demonstra a tabela abaixo.
Todos os números foram escritos utilizando-se as quatro operações fundamentais, raiz quadrada, fatorial e o termial.
Sobre o fatorial de um número natural, já sabemos que:
n! = n(n-1)(n-2)(n-3) ... . 2.1, para n maior ou igual a 2.
Exemplo.: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Sobre o termial, recebemos uma contribuição do visitante José Cássio Filardi, a qual reproduzimos a seguir:
"Professor: A função termial é bastante conhecida. Só não é comum o uso de um símbolo específico. De maneira semelhante ao fatorial, pode-se representá-la através de um somatório, ou seja: n? = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n , para n maior ou igual a 2.
Exemplo: 7? = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28
A denominação "termial" deriva da expressão em inglês: "termial function" . Vide o livro - The Art of Computer Programming, segunda edição, vol. 1 / Fundamental Algorithms, Donald E. Knuth - Stanford University - Addison-Wesley Publishing Company ".
Então, com as informações do Filardi e outras, nem tanto, construímos esta tabela resumo:
N.º Solução N.º Solução N.º Solução 0 44 – 44 35 4! + (44/4) 69 (4!/4)? + 4! + 4! 1 44/44 36 4! + 4 + 4 + 4 70 (4!+44) / 4 2 4/4 + 4/4 37 (4?)?- (4? +4+4) 71 (4?)? + 4? + (4! / 4) 3 (4+4+4)/4 38 44 – 4 - Ö4 72 (4!Ö4) / (4+4) 4 4 + (4-4)/4 39 4.4? - (4/4) 73 (4?)? + 4! - (4! / 4) 5 (4.4 + 4)/4 40 44 – (Ö4)Ö4 74 (44 / 4) + 4? 6 (4+4)/4 + 4 41 4.4? + (4/4) 75 (4?)? + (4.4) + 4 7 (44/4) – 4 42 44 + Ö4 – 4 76 4.4! - (4? + 4?) 8 4+4+4 – 4 43 44 - (4/4) 77 [(4!)? + 4 + 4] / 4 9 4+4 + (4/4) 44 44 + 4 – 4 78 44 + 4! + 4? 10 (44 – 4)/4 45 44 + (4/4) 79 (4?)? - 4 + 4! + 4 11 4? + 44 - 4 46 44 - Ö4 + 4 80 (4.4 + 4).4 12 (44+4)/4 47 4! + 4! - (4/4) 81 (4?)? + (4.4) + 4? 13 4! – (44/4) 48 (Ö4)Ö 4 + 44 82 4.4! - (4? + 4) 14 4+4+4+Ö4 49 4! + 4! + 4/4 83 [(4!)? / 4] + (4 + 4) 15 44/4 + 4 50 44 + Ö4 + 4 84 (4! – 4).4 + 4 16 (Ö4)4 + 4 – 4 51 (4?)? - (4.4) / 4 85 (4?)? + 4! + (4!/4) 17 4!-(4!+4)/4 52 4!.4 – 44 86 (4?)? + (4!/4)? + 4? 18 (4! + 4! + 4!)/4 53 (4?)? - [(4 + 4)] / 4 87 4! + (4?)? + 4 + 4 19 4!-4-(4/4) 54 (44 / 4) - 4? 88 44 + 44 20 (4? + 4?).(4/4) 55 (4?)? . 44 - 4 89 (4?)? + 44 - 4? 21 4!-4-(4/4) 56 4! + 4! + 4 + 4 90 4.4! - (4!/4) 22 (44/4).Ö4 57 (4?)? + [(4+4) / 4] 91 (4?)? + [4.(4?)] - 4 23 4!-4(4-4) 58 (4?)? + [4 - (4/4)] 92 44 + 4! + 4! 24 (Ö4)4 + 4 + 4 59 (4?)? + (4.4) / 4 93 (4?)? + 4! + 4! - 4? 25 4! + 4(4-4) 60 4Ö4 .4 – 4 94 4.(4!/4)? + 4? 26 (44/Ö4) + 4 61 (4!/4)? + 4.4? 95 4!.4 – 4/4 27 4!+4-(4/4) 62 4! + 4! + 4? + 4 96 4!.4 + 4 – 4 28 (4!/4).4 + 4 63 (44 – 4)/4 97 4!.4+4/4 29 4! + 4 + (4/4) 64 4(4 - Ö4) . 4 98 {[(4!)? - 4]/4} + 4! 30 (4!.4 + 4!)/4 65 (4 + 44) / 4 99 (4?)? + 4.4? + 4 31 {(4+Ö4)!+4!}/4! 66 (4?)? + 4? + (4/4) 100 (4! + 4/4).4 32 (4.4) + (4.4) 67 4 + 4 + 4 + (4?)? 33 (4! + 4?) - (4/4) 68 44/4 + 4 34 4!+4+4+Ö4 69 (4! /4)? + 4! + 4! NOTA: Considerando-se que o termial de um número natural n maior ou igual a 2, é o somatório de todos os números naturais de 1 a n e, portanto, a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética de razão 1, é trivial que o termial de n será dado por:
n? = (a1 + an).(n / 2) = [(n + 1). n] / 2
Exemplo.: 6? = 7.6 / 2 = 21
Vamos eliminar o TERMIAL? Clique AQUI para ver a nova solução.Paulo Marques - Feira de Santana - BA - editado em 19/03/2010.