Dois tanques de mesmo volume num vestibular da UFBA em 2007


1 - UFBA 2007 – 2ª. Fase – Dois tanques, com a mesma capacidade, apresentam dispositivos para esvaziá-los, tendo cada um deles vazão constante. Estando completamente cheios de água, o primeiro tanque é esvaziado em 4 horas e o segundo, em 5. Nessas condições, abrindo-se simultaneamente os dispositivos desses tanques, calcule o tempo necessário, desde o momento da abertura, para que o volume de água do primeiro tanque seja igual a 75% do volume do segundo.

Nota:
UFBA - Universidade Federal da Bahia

Solução:


Seja V o volume de ambos os tanques, já que pelo enunciado, os dois possuem a mesma capacidade.
O primeiro tanque é esvaziado em 4 horas. Logo, poderemos escrever a seguinte regra de três direta:
4h .......................V
1h ....................... x   de onde tiramos  x = V/4 (em 1h, saem V/4  do primeiro tanque).

Analogamente para o segundo tanque teremos:
5h ........................V
1h ....................... y   de onde tiramos y = V/5  (em 1h, saem V/5 do segundo tanque).

É correto afirmar então que depois de t horas, terá escoado (V/4).t do primeiro tanque e (V/5).t do segundo tanque. Então, após t horas, o volume de água no primeiro tanque será igual a V – (V/4).t   e, no segundo tanque o volume remanescente será igual a
V – (V/5).t.
O enunciado pergunta o tempo necessário para que o volume de água no primeiro tanque seja igual a 75% do volume de água contido no segundo tanque, no mesmo instante. Logo, deveremos ter:

V – (V/4).t = 75%[V – (V/5).t]
Basta resolver esta equação do primeiro grau e achar o tempo t.

Colocando V em evidencia, fica:
V(1 – t/4) = 0,75V(1 – t/5)
Simplificando, vem:
1 – t / 4 = 0,75(1 – t / 5)
1 – t / 4 = 0,75 – 0,75t / 5
1 – 0,75 = t /4 – 0,15t
0,25 = 0,25t – 0,15t
0,25 = 0,10t, de onde tiramos  t = 0,25 / 0,10 = 25 / 10 = 5 / 2 = 2,50.
Logo, o tempo procurado é t = 2,50h ou seja: 2,50h = 2h + 0,50h = 2h + 0,50.60min =  2h 30 min = 2:30h.

Resposta: 2h 30min

Agora resolva este:

Dois tanques, com a mesma capacidade, apresentam dispositivos para esvaziá-los, tendo cada um deles vazão constante. Estando completamente cheios de água, o primeiro tanque é esvaziado em 4 horas e o segundo, em 5. Nessas condições, abrindo-se simultaneamente os dispositivos desses tanques, calcule o tempo necessário, desde o momento da abertura, para que o volume de água do primeiro tanque seja igual a metade do volume do segundo.

Resposta: 3h 20min

2 - Dois tanques, com a mesma capacidade, apresentam dispositivos para esvaziá-los, tendo cada um deles vazão constante. Estando completamente cheios de água, o primeiro tanque é esvaziado em 4 horas e o segundo, em 5. Nessas condições, abrindo-se simultaneamente os dispositivos desses tanques, calcule o tempo aproximado necessário, desde o momento da abertura, para que o volume de água do segundo tanque seja igual ao triplo do volume do primeiro.

Solução:

Seja V o volume de ambos os tanques, já que pelo enunciado, os dois apresentam a mesma capacidade.
O primeiro tanque é esvaziado em 4 horas. Logo, poderemos escrever a seguinte regra de três direta:
4h .......................V
1h ....................... x   de onde tiramos  x = V/4 (em 1h, saem V/4  do primeiro tanque).

Analogamente para o segundo tanque teremos:
5h ........................V
1h ....................... y   de onde tiramos y = V/5  (em 1h, saem V/5 do segundo tanque).

É correto afirmar então que depois de t horas, terá escoado (V/4).t do primeiro tanque e (V/5).t do segundo tanque. Então, após t horas, o volume de água no primeiro tanque será igual a V – (V/4).t   e, no segundo tanque o volume remanescente será igual a V – (V/5).t.
O enunciado pergunta o tempo necessário para que o volume de água no segundo tanque seja igual o triplo do volume de água contido no primeiro tanque, no mesmo instante.
Logo, deveremos ter:

V – (V/5).t = 3[V – (V/4).t]
Colocando V em evidencia e simplificando, fica:
1 – t/5 = 3(1 – t/4)
1 – t/5 = 3 – 3t/4
1 – 0,20t = 3 – 0,75t
1 – 3 = 0,20t – 0,75t
– 2 = – 0,55t

Daí vem, t = 2 / 0,55 = 200 / 55 = 40 / 11 horas, que é igual aproximadamente a 3,63h.

Ora, 3,63h = 3h + 0,63h = 3h + 0,63.60min = 3h + 37,8min = 3h + 37min + 0,8min
= 3h + 37min + 0,8.60 = 3h + 37min + 48seg = 3h 37min 48s = 3:37:48h.

Resposta: 3h 37min 48s

Agora resolva este:

Dois tanques, com a mesma capacidade, apresentam dispositivos para esvaziá-los, tendo cada um deles vazão constante. Estando completamente cheios de água, o primeiro tanque é esvaziado em 4 horas e o segundo, em 5. Nessas condições, abrindo-se simultaneamente os dispositivos desses tanques, prove que o tempo t (em horas) necessário, desde o momento da abertura, para que o volume de água do segundo tanque seja igual a m vezes o volume do primeiro, é igual a  t = 20(m – 1) / (5m – 4).

Comentário: como o tempo t é necessariamente positivo ou nulo (t ³ 0), concluímos que o valor de m na igualdade acima  será um número real maior ou igual a 1 ou seja, m ³ 1. Este problema não tem nenhuma dificuldade; basta seguir o mesmo raciocínio dos problemas apresentados anteriormente.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 18/02/2007. Editado em 01/11/2011. 


VOLTAR