Dois tanques de mesmo volume num vestibular da UFBA em 2007 |
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- UFBA 2007 2ª. Fase Dois tanques, com a mesma
capacidade, apresentam dispositivos para esvaziá-los, tendo
cada um deles vazão constante. Estando completamente cheios de
água, o primeiro tanque é esvaziado em 4 horas e o
segundo, em 5. Nessas condições, abrindo-se
simultaneamente os dispositivos desses tanques, calcule o tempo
necessário, desde o momento da abertura, para que o volume de
água do primeiro tanque seja igual a 75% do volume do
segundo.
Nota: UFBA - Universidade Federal da Bahia
Solução:
Seja V o
volume de ambos os tanques, já que pelo enunciado, os
dois possuem a mesma capacidade.
O primeiro tanque é
esvaziado em 4 horas. Logo, poderemos escrever a seguinte regra de
três direta:
4h .......................V
1h
....................... x de onde tiramos x = V/4
(em 1h, saem V/4 do primeiro tanque).
Analogamente para
o segundo tanque teremos:
5h ........................V
1h
....................... y de onde tiramos y = V/5
(em 1h, saem V/5 do segundo tanque).
É correto afirmar
então que depois de t horas, terá escoado
(V/4).t do primeiro tanque e (V/5).t do segundo tanque. Então,
após t horas, o volume de água no primeiro
tanque será igual a V (V/4).t e, no segundo
tanque o volume remanescente será igual a
V
(V/5).t.
O enunciado pergunta o tempo necessário para que
o volume de água no primeiro tanque seja igual a 75% do volume
de água contido no segundo tanque, no mesmo instante. Logo,
deveremos ter:
V (V/4).t = 75%[V (V/5).t]
Basta
resolver esta equação do primeiro grau e achar o tempo
t.
Colocando V em evidencia, fica:
V(1 t/4) =
0,75V(1 t/5)
Simplificando, vem:
1 t / 4 = 0,75(1
t / 5)
1 t / 4 = 0,75 0,75t / 5
1
0,75 = t /4 0,15t
0,25 = 0,25t 0,15t
0,25 =
0,10t, de onde tiramos t = 0,25 / 0,10 = 25 / 10 = 5 / 2 =
2,50.
Logo, o tempo procurado é t = 2,50h ou seja: 2,50h =
2h + 0,50h = 2h + 0,50.60min = 2h 30 min = 2:30h.
Resposta:
2h 30min
Agora resolva este:
Dois
tanques, com a mesma capacidade, apresentam dispositivos para
esvaziá-los, tendo cada um deles vazão constante.
Estando completamente cheios de água, o primeiro tanque é
esvaziado em 4 horas e o segundo, em 5. Nessas condições,
abrindo-se simultaneamente os dispositivos desses tanques, calcule o
tempo necessário, desde o momento da abertura, para que o
volume de água do primeiro tanque seja igual a metade
do volume do segundo.
Resposta:
3h 20min
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- Dois tanques, com a mesma capacidade,
apresentam dispositivos para esvaziá-los, tendo cada um deles
vazão constante. Estando completamente cheios de água,
o primeiro tanque é esvaziado em 4 horas e o segundo, em 5.
Nessas condições, abrindo-se simultaneamente os
dispositivos desses tanques, calcule o tempo aproximado necessário,
desde o momento da abertura, para que o volume de água do
segundo tanque seja igual ao triplo do volume do
primeiro.
Solução:
Seja V o volume de ambos os tanques, já que pelo
enunciado, os dois apresentam a mesma capacidade.
O primeiro
tanque é esvaziado em 4 horas. Logo, poderemos escrever a
seguinte regra de três direta:
4h
.......................V
1h ....................... x
de onde tiramos x = V/4 (em 1h, saem V/4 do primeiro
tanque).
Analogamente para o segundo tanque teremos:
5h
........................V
1h ....................... y
de onde tiramos y = V/5 (em 1h, saem V/5 do segundo tanque).
É correto afirmar então que depois de t horas,
terá escoado (V/4).t do primeiro tanque e (V/5).t do segundo
tanque. Então, após t horas, o volume de água no
primeiro tanque será igual a V (V/4).t e,
no segundo tanque o volume remanescente será igual a V
(V/5).t.
O enunciado pergunta o tempo necessário para que
o volume de água no segundo tanque seja igual o triplo do
volume de água contido no primeiro tanque, no mesmo instante.
Logo, deveremos ter:
V (V/5).t = 3[V
(V/4).t]
Colocando V em evidencia e simplificando, fica:
1
t/5 = 3(1 t/4)
1 t/5 = 3 3t/4
1
0,20t = 3 0,75t
1 3 = 0,20t 0,75t
2
= 0,55t
Daí vem, t = 2 / 0,55 = 200 / 55 = 40 /
11 horas, que é igual aproximadamente a 3,63h.
Ora,
3,63h = 3h + 0,63h = 3h + 0,63.60min = 3h + 37,8min = 3h + 37min +
0,8min
= 3h + 37min + 0,8.60 = 3h + 37min + 48seg = 3h 37min 48s
= 3:37:48h.
Resposta: 3h 37min
48s
Agora resolva este:
Dois
tanques, com a mesma capacidade, apresentam dispositivos para
esvaziá-los, tendo cada um deles vazão constante.
Estando completamente cheios de água, o primeiro tanque é
esvaziado em 4 horas e o segundo, em 5. Nessas condições,
abrindo-se simultaneamente os dispositivos desses tanques, prove que
o tempo t (em horas) necessário, desde o momento da
abertura, para que o volume de água do segundo tanque seja
igual a m vezes o volume do primeiro, é igual a t
= 20(m 1) / (5m 4).
Comentário:
como o tempo t é necessariamente positivo ou nulo (t
³ 0), concluímos
que o valor de m na igualdade acima será um
número real maior ou igual a 1 ou seja, m ³
1. Este problema não tem nenhuma dificuldade; basta seguir
o mesmo raciocínio dos problemas apresentados
anteriormente.
Paulo
Marques Feira de Santana BA 18/02/2007. Editado em
01/11/2011.
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