| Os números naturais |
Os números naturais: o conjunto N
N = {1,2,3,4,5,6, ... , 19,20, ... , 1001, 1002, ... , 10000001, ... }
Notas elucidativas:
a) os números naturais surgiram da necessidade de contagem dos elementos de um
conjunto pelo homem primitivo e, neste sentido, o zero ( 0 ) não seria um
número natural.
b) por volta do ano 458 DC, o zero foi introduzido pelos hindus, para
representar a coluna vazia dos ábacos, daí sua denominação original de sunya
(vazio).
Ábaco - segundo o dicionário Melhoramentos - 7ª edição: calculador
manual para aritmética, formado de um quadro com vários fios paralelos em que
deslizam botões ou bolas móveis.
Veja a ilustração a seguir, obtida no site do Museo
Pedagógico José Pedro Varela - poeta e educador uruguaio (1845
- 1879).
Nota: observe acima à direita, a linha vazia no ábaco, significando o zero.
c) no entanto, como o zero atende às propriedades básicas dos números
naturais, ele pode ser considerado um número natural, não obstante a premissa
contrária não conflitar a teoria. Assim, não deveremos estranhar quando
aparecer em provas de vestibulares o conjunto N como sendo N = {0,
1, 2, 3, 4, 5, ... }, definindo-se um outro conjunto sem o zero:
N*
= N - {0} = {1,2,3,4, ... }. Como esta forma de abordagem é a mais
usual, consideraremos o zero como sendo um número natural, no que se
segue.
d) o conjunto dos números naturais é infinito.
Propriedades:
1 – Todo número natural n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por
suc(n) = n + 1. Exemplo: suc(32) = 32 + 1 =
33.
2 – Dados dois números naturais m e n, ocorrerá uma e somente uma das
condições :
m = n : m igual a n (igualdade)
m > n : m maior do que n (desigualdade)
m < n : m menor do que n (desigualdade). Esta propriedade é conhecida como
Tricotomia.
Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ³
ou £
os quais possuem a seguinte leitura:
a ³
b : a maior do que b ou a = b.
a £
b : a menor do que b ou a = b
Assim por exemplo, x £
3, significa que x poderá assumir em N, os valores 3,2,1 ou 0.
Já x < 3,
teríamos que x seria 2, 1 ou 0.
Operações em N
1 – Adição:
a + b = a mais b.a +
b = a mais b.
Propriedades:
Dados os números naturais a, b, c, em N, são válidas as seguintes propriedades:
1.1 – Fechamento: a soma de dois números naturais é sempre um número
natural. Diz-se então que o conjunto N dos números naturais é fechado em
relação à adição.
1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c
1.3 – Comutativa: a + b = b + a
1.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.
1.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números naturais é único.
1.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número
natural a
ambos os membros, ou seja, se a
> b então a + c > b + c.
2 – Subtração:
Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição.
Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o
conjunto N não é fechado em relação à subtração, pois a subtração
(diferença) entre dois números naturais, nem sempre é um outro número
natural. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N
dos números naturais. Das seis propriedades do item anterior, verifica-se que
a operação subtração possui apenas aquelas dos sub-itens (1.5) e (1.6).
3 – Multiplicação:
é um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número natural a
si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n
Na igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.
Propriedades:
Dados os números naturais a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números naturais é sempre
outro número natural. Dizemos então que o conjunto N dos números naturais
é fechado em relação à operação de multiplicação.
3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c
3.3 – Comutativa: a x b = b x a
3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro
da multiplicação.
3.5 – Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números naturais é
único.
3.6 – Monotônica: : Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos
ambos os membros, por um mesmo número natural, ou seja, se a
> b então a x c > b x c.
3.7 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
4 – Potenciação:
é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim
é que multiplicando-se um número natural a por ele mesmo n vezes, obteremos
a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo
a n , onde
a será denominado base e n
expoente.
Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71
= 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.
5 – Divisão:
é um caso particular da subtração, senão vejamos: o que significa dividir
17 por 3? Significa descobrir, quantas vezes o número 3 cabe em 17, ou seja: 17
– 3 – 3 – 3 – 3 - 3 e
restam 2. Podemos escrever a expressão anterior como:
17
= 5 . 3 + 2 . O número 17 é denominado dividendo, o número 3 é
denominado divisor, o número 5 é denominado quociente e o número 2 é
denominado resto.
De uma maneira geral, dados os números naturais D, d, q e
r, poderemos escrever a relação
D = d.q + r com
0 £
r < d.
Se r = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, não
deixa resto. A demonstração da existência e da unicidade dos números D, d,
q e r, pode ser vista nos compêndios de Teoria dos Números e não cabe aqui
nestas notas introdutórias. A relação vista acima é conhecida como Teorema
de Euclides.
5.1 – Exercícios
resolvidos
Dividindo-se o número 245 por um número natural b, obtém-se quociente 5 e
resto r. Determine o valor da soma dos valores possíveis para b.
Solução:
Pela exposição anterior, poderemos escrever:
245 = 5.b + r com 0 £
r < b .
Da primeira expressão, tiramos: r = 245 – 5b
Substituindo na segunda, vem:
0 £
245 – 5b < b
Podemos desmembrar a dupla desigualdade acima em duas, a saber:
0 £
245 – 5b e 245 – 5b < b
Resolvendo a primeira: 0 £
245 – 5b \
5b £
245 \
b £
49.
Resolvendo a segunda: 245 – 5b < b \
245 < 6b \
6b > 245 \b
> 40, 83...
Ora, sendo b um número natural maior
do que 40,83 e menor ou igual a 49, vem que os valores possíveis para b serão:
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 e 49.
A soma dos valores possíveis para b será então,
S = 41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 = 405.
Resposta: 405
UNICAMP 1994 – 2ª fase – A divisão de um
certo número inteiro N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão
de N + 2000 pelo mesmo número 1994.
Solução:
Pelo Teorema de Euclides visto acima, poderemos escrever:
N = 1994.q + 148, onde q é o quociente.
Analogamente, para N + 2000, teremos:
N + 2000 = 1994.Q + r, onde Q é o novo quociente e r é o novo resto.
Podemos escrever: N = 1994.Q –
2000 + r
N = 1994.Q – (1994 + 6) + r
N = 1994.Q – 1994 – 6 + r
N = 1994(Q - 1) + r - 6
N – 1994(Q – 1) - r + 6 = 0
Substituindo o valor de N fica:
1994.q + 148 – 1994(Q – 1) - r + 6 = 0
1994(q – Q +1) + (154 – r) = 0
Ora, sendo Q, q e r naturais, a soma acima será nula, se e somente se ocorrer
q – Q + 1 = 0, ou seja, Q = q + 1
e
154 - r = 0.
Como estamos
interessados no novo resto r, vem
imediatamente que: r
= 154.
Resposta: 154
Outra maneira de
resolver o problema, talvez mais simples, seria:
Temos pelo enunciado:
N = 1994.q + 148
Adicionando 2000 a ambos os membros, vem:
N + 2000 = 1994.q + 2000 + 148
N + 2000 = 1994.q + 2000 + 148
Decompondo 2000 na soma equivalente 1994 + 6, fica:
N + 2000 = 1994.q + 1994
+ 6 + 148
N + 2000 = 1994.(q + 1) + 154
Logo, o novo quociente é q + 1 e o novo resto é igual a 154.
Paulo Marques
– Feira de Santana – BA – 09/12/2001 - revisado e ampliado em 24/08/2003 e em 30/08/2015.