Em 1938, uma moça tinha tantos anos quantos expressavam os dois últimos algarismos do ano em que nascera. Qual a sua idade?

Solução:

Se uma pessoa nasce no ano x, no ano y sua idade será y – x. 
Por exemplo, uma pessoa que nasceu no ano 1983, no ano 2001 terá  2001 – 1983 = 18 anos (completos ou incompletos, a depender obviamente do mês de nascimento).

Vamos supor que a moça tenha nascido no ano 19ab onde a e b são
números naturais entre 0 e 9. Pelo enunciado da questão, poderemos escrever:

1938 – 19ab = ab, onde  ab  representa a idade da moça. Claro que ab sendo um número de 2 algarismos, a e b são números naturais que podem variar de 0 a 9.

Observando que 1938 = 1000 + 900 + 30 + 8 = 1.1000 + 9.100 + 3.10 + 8,
poderemos escrever analogamente:
19ab = 1.1000 + 9.100 + a.10 + b = 1000 + 900 + 10a + b = 1900 + 10a + b
Também poderemos escrever para o número ab:
ab = a.10 + b = 10.a + b
Exemplos: 26 = 2.10 + 6, 87 = 8.10 + 7, 76 = 7.10 + 6, etc

Teremos então, voltando à expressão 1938 – 19ab = ab :
1938 – (1900 + 10.a + b) = 10.a + b

1938 – 1900 – 10.a – b = 10.a + b
38 – 10.a – b – 10.a – b = 0
38 – 20.a – 2.b = 0

Dividindo tudo por 2 fica:

19 – 10.a – b = 0
19 = 10.a + b

Ora, 10.a + b conforme visto acima, é justamente o número ab.

Logo, a idade da moça é 19 anos.
 
Portanto, o ano de nascimento sendo 19ab, concluímos que a moça nasceu em 1919.

Em 1938, uma moça tinha tantos anos quantos expressavam os dois últimos algarismos do ano em que nascera.Ao contar isto a sua avó, que nascera no século anterior, ambas espantaram-se ao perceberem que o mesmo ocorria à velha senhora.

Pergunta-se:
a) Quais os anos de nascimento?
b) Qual a idade da avó e da neta?

Solução:

Este problema é uma continuação do primeiro já resolvido acima. Já encontramos a idade e o ano de nascimento da moça, respectivamente iguais a 19 anos e 1919. Vamos repetir o mesmo raciocínio para determinar o ano de nascimento e a idade da avó.

É razoável supor que, nas condições do problema, o ano de nascimento da avó seja 18mn .

Teremos analogamente:
1938 – 18mn = mn

Nota: 1938 = mil novecentos e trinta e oito.
18mn = mil oitocentos e mn.
Observe que o símbolo 18mn não significa 18 vezes mn.

Usando o conhecimento adquirido no exercício (1) acima, teremos diretamente:

1938 – 18mn = mn
1938 – (1000 + 800 + 10.m + n) = 10.m + n
1938 – (1800 + 10.m + n) = 10.m + n
1938 – 1800 – 10.m – n = 10.m + n
138 – 10.m – n – 10.m – n = 0
138 – 20.m – 2.n = 0
Dividindo tudo por 2, fica:
69 – 10.m – n = 0
69 = 10.m + n = mn
Logo, a idade da avó é igual a 69 anos, e ela nasceu no ano de 1869.

Respostas:
a) anos de nascimento: neta: 1919; avó: 1869.
b) idades: neta: 19 anos; avó: 69 anos.

Paulo Marques, Feira de Santana – BA , 07 de outubro de 2001. Editado em 31 de março de 2018, em Palmas/TO.

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