1 – Determine o limite da expressão

onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente.

Solução:

A expressão dada pode ser escrita como:
x^1/2 . x^1/4 . x^1/8 . x^1/16 . ... = x^{1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...}
Observe que o expoente é a soma dos termos de uma Progressão Geométrica decrescente e ilimitada de razão q = 1/2 e primeiro termo a₁ = 1/2. Portanto, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = a₁/(1-q) = (1/2)/(1-1/2) = (1/2)/(1/2) = 1
Logo a expressão dada terá como limite x¹ = x.
Resposta: x

2 – Sendo f uma função real de variável real tal que f(x+3) = 2x+3 , determine f(2x+3).

Solução:
 
Faça x + 3 = u. Vem que x = u - 3. Logo, podemos escrever, substituindo x pelo seu valor (u – 3): 
f(u) = 2(u-3) + 3. Daí, vem: f(u) = 2u – 6 + 3 , de onde conclui-se: f(u) = 2u – 3.
É uma dedução imediata que sendo f(u) = 2u – 3, fazendo u = 2x+3, virá inevitavelmente:
f(2x+3) = 2(2x+3) – 3 = 4x + 6 – 3 = 4x + 3.
Portanto, f(2x+3) = 4x + 3.
Resposta: 4x+3

3 – Dois relógios são acertados em 12h. Um relógio adianta 1 minuto por dia e o outro atrasa 1,5 minutos por dia. Depois de quantos dias vão marcar o mesmo horário?

Solução:

É óbvio que os dois relógios se "distanciam" de 1+1,5 = 2,5 minutos por dia.
Quando os relógios estiverem atrasados 12 horas, um em relação ao outro, as posições dos ponteiros serão iguais e, portanto, marcarão a mesma hora. Mas, 12h = 12.60min = 720 minutos.
Portanto, podemos "armar" a seguinte regra de três:
1 dia ............................................................ 2,5 min
x dias.............................................................720 min
Logo, x = 720/2,5 = 288 dias
Resposta: 288 dias

4 – UFPB/93 – Sendo o volume de uma esfera de raio R numericamente igual a 33 vezes a sua área, calcular o valor de R, em unidades de comprimento.

Solução:
 
Sabemos que para uma esfera de raio R, são válidas as seguintes fórmulas para o cálculo do volume V e da área S:
V = (4/3).p .R³ e S = 4.p .R²
O problema exige que V = 33.S ; substituindo, vem:
(4/3).p .R³ = 33.4.p .R² Þ (4/3).R³ = 132.R² Þ (4/3).R = 132 Þ R = 132/(4/3) = 132.(3/4) = 396/4 = 99
Resposta: 99 u.c.

5 – UFPB/93 – Determine o período da função f: R ® R definida por f( x ) = cos( 7x ).cos( 3x ) + sen( 7x ).sen( 3x ).

Solução:
 
Como cos(a-b) = cosa.cosb + sena.senb, concluímos que:
cos7x.cos3x+sen7x.sen3x = cos(7x-3x) = cos4x
A função dada é então equivalente a: f(x) = cos4x.
Ora, sabemos que o período da função y = cosbx é igual a T = 2p /b
Logo: período = T = 2p /4 = p /2 radianos
Resposta: p /2 rad

6 – UFPB 93 – Sendo a e b raízes distintas da equação 2.4^x + 4 = 9.2^x , calcular o valor de a⁶ + b⁶.

Solução:

Podemos escrever: 4^x = (2²)^x = (2^x)² . Portanto, fazendo 2^x = y, a equação dada fica:
2.y² + 4 = 9.y Þ 2y² – 9y + 4 = 0.
Resolvendo a equação do 2º grau, obteremos y = 4 ou y = 1/2.
Logo, 2^x = 4 ou 2^x = 1/2 Þ x = 2 ou x = -1.
Portanto, como as raízes são denominadas de a e b no problema, vem que a = 2 e b = -1.
Daí, a⁶ + b⁶ = 2⁶ + (-1)⁶ = 64 + 1 = 65
Resposta: 65

7 – UFPB 93 – Na linguagem C, usada na programação de computadores, sabe-se que:

fabs(x) é o valor absoluto de x,
sqrt(x) é a raiz quadrada de x,
* é o operador multiplicação,
+ é o operador adição.
Pede-se calcular o valor da expressão:  fabs(-3) * sqrt(25) + fabs(4) * sqrt(49)

Solução:
 
Temos:
fabs(-3) = | -3½ = 3
sqrt(25) = Ö 25 = 5
fabs(4) = ½ 4½ = 4
sqrt(49) = Ö 49 = 7
Portanto, a expressão será igual a: 3.5 + 4.7 = 15+28 = 43
Resposta: 43

Notas:
A) fabs(x) = função valor absoluto (ou módulo) de x.
B) sqrt(x) = square root of x = raiz quadrada de x.

8 – UFPB 94 – Calcular o valor da expressão:

Solução:
 
Olhando cuidadosamente a expressão, concluímos que o numerador é o seno da soma de dois arcos e que o denominador é o cosseno da diferença de dois arcos. Logo, a expressão dada é equivalente a:
sen(11º + 34º) / cos(57º-12º) = sen45º / cos45º . Mas, sen45º = cos45º = Ö 2/2.
Logo, a expressão simplificada é igual à unidade.
Resposta: 1

9 – UFBA – Considere a PA de razão r dada por (a_n) = (log4, log12, log36, ... ). Sendo a₂₂ = k, determine 10^k+r / 3²⁰.

Solução:
 
A razão da P.A. será igual a: r = log12 – log4 = log(12/4) = log3.
Mas, a₂₂ = a₁ + 21r (aplicação da fórmula do termo geral de uma P.A.)
Como a₁ = log4, substituindo, vem:
k = log4 + 21.log3
k = log4 + log3²¹ Þ k = log(4.3²¹) [aplicação de propriedades imediatas dos logaritmos].

Então:

Para entender algumas passagens acima, lembre-se que:

A) 10^logN = N. 
Exemplo: 10^log56 = 56. [log sem indicar a base é considerado base 10].
B) log(4.3²¹) + log3 = log[4.3²¹.3] (soma de log é log de produto).
C) A^M / A^N = A^M-N . Assim: 3²¹/3²⁰ = 3^21-20 = 3¹ = 3.
Resposta: 36

10 – UFPB 94 – Quantos números ímpares de dois algarismos são maiores ou iguais a 10?

Solução:
 
Temos a seguinte sequencia de números ímpares satisfazendo o problema:
(11, 13, 15, 17, ... , 99)
Trata-se de uma P.A. de primeiro termo a₁ = 11, razão r = 2 e último termo a_n = 99.
Usando a fórmula do termo geral da P.A. , vem:
a_n = a₁ + (n-1).r Þ 99 = 11 + (n-1).2 Þ 99 – 11 + 2 = 2n Þ n = 45.
Resposta: 45

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 24 de junho de 1997. Editado em 22/05/2011.