Ratos e homens

FUVEST – A população humana de um conglomerado urbano é de 10 milhões de habitantes e a de ratos é de 200 milhões. Admitindo-se que ambas as populações cresçam em progressão geométrica, de modo que a humana dobre a cada 20 anos e a de ratos dobre a cada ano, dentro de dez anos quantos ratos haverá por habitante?

Solução:  

Sejam H₀  e R₀ as populações humana e de ratos no ano inicial, teremos:
H₀ = 10 000 000 = 10⁷
R₀ = 200 000 000 = 2.100 000 000 = 2.10⁸

Como a população humana dobra a cada 20 anos, vamos calcular a taxa de crescimento anual, que será a razão da progressão geométrica – PG, já que o crescimento se dá em PG, conforme o enunciado do problema.

Temos a seguinte PG:
(H₀ = 10⁷, H₁, H₂, H₃, ... ,H₁₉, H_{20 =} 2x10⁷)
onde H₂₀ = 2.10⁷ = dobro da população inicial.

Temos então uma PG na qual conhecemos o primeiro termo (10⁷), o último termo (2.10⁷), o número de termos (n = 21) e desconhecemos a razão (q).

Nota: n = 21 porque de H₀ a H₂₀, existem 21 termos.

A fórmula do termo geral de uma Progressão geométrica é, como já sabemos, dada por:

a_n = a_1.q ^{n - 1}  

Substituindo os termos conhecidos, vem:

2.10⁷ = 10⁷ . q^{21 – 1}
2.10⁷ = 10⁷ . q²⁰

Daí, vem:

q²⁰ = 2 = 2¹ \ q = 2^1/20

A população humana após 10 anos será então dada por:

H₁₀ = H₀.q^{n - 1} = 10⁷.(2^1/20)^{11– 1} = 10⁷.(2^1/20)¹⁰ = 10⁷.2^1/2

Nota: n = 11 neste caso, porque de H₀ a H₁₀ existem 11 termos.

Vamos agora calcular a população dos ratos após 10 anos.

Conforme dados do enunciado da questão e considerações anteriores, temos a seguinte PG:

(2.10⁸, 4.10⁸,..., R₁₀) onde R₁₀ é a população de ratos após 10 anos.

Vamos calcular R₁₀, lembrando que como a população de ratos duplica a cada ano, a razão da PG é igual a 2. 
Teremos então, utilizando a fórmula do termo geral de uma PG:

R₁₀ = 2.10⁸.2^{11 - 1} = 2.10⁸.2¹⁰ = 2¹¹.10⁸

Nota: n = 11 neste caso, porque de R₀ a R₁₀ existem 11 termos.

Ora, depois de 10 anos, teremos 10⁷.2^1/2 humanos e 2¹¹.10⁸ ratos.

Para achar a resposta do problema, ou seja, dentro de dez anos quantos ratos haverá por habitante, basta achar a razão (o quociente) entre o número de ratos e de humanos, ou seja:

(2¹¹.10⁸) / (10⁷.2^1/2) = 10^{8 - 7}.2^{11 - (1/2)} = 10.2^21/2 = 5.2.2 ^{21 / 2} = 5.2^{1+ (21/2)} = 5.2^23/2

Resposta: 5.2^23/2 ratos para cada humano. 

Usando uma calculadora científica – a do Windows serve – obtemos este número que vale aproximadamente
14482 ratos por humano!

Nota: O título Ratos e homens é de uma obra de John Steinbeck, grande escritor norte americano – 1902 / 1968.

Agora resolva este: 

Numa cultura de bactérias existem inicialmente 1000 bactérias presentes e a quantidade após t minutos é 
N(t) = 1000.3^0,7t . Após 10 minutos a quantidade de bactérias presentes na cultura será superior a 2.000.000. Esta afirmativa é verdadeira ou falsa?

Resposta: Verdadeira. Estarão presentes exatamente 2.187.000 bactérias.

Paulo Marques, 04 de fevereiro de 2001 – Feira de Santana – BA. Editado em 20/12/2015. 
Feliz Natal e um Feliz 2016 a Todos!                 
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