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Uma soma de quadrados |
Determine a soma dos
quadrados dos n primeiros inteiros positivos, ou seja,
calcule
12
+ 22 + 32 + ... +n2.
Solução:
Considere a
identidade
(n + 1)3 = n3
+ 3.n2 + 3.n + 1
já nossa velha
conhecida, obtida da fórmula do cubo de uma soma
(a +b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,
fazendo a = n e b = 1.
Vamos fazer sucessivamente, n = 0, 1, 2,
...,n na identidade acima:
n = 0: (0+1)3
= 13
= 03 + 3.02 + 3.0 + 1
n = 1: (1+1)3
= 23
= 13 + 3.12 + 3.1 + 1
n = 2: (2+1)3
= 33
= 23 + 3.22 + 3.2 + 1
n = 3: (3+1)3
= 43
= 33 + 3.32 + 3.3 + 1
n = 4: (4+1)3
= 53
= 43 + 3.42 + 3.4 + 1
........................................................................
........................................................................
........................................................................
n = n: (n+1)3 = (n+1)3 = n3 +
3.n2 + 3.n + 1
Somando membro a membro as (n + 1) igualdades acima, vem:
13
+ 23 + 33 + ... + n3 +
(n+1)3 =
13
+ 23 + 33 + ... + n3
+ 3(12+22+32+...+n2)
+ 3(1+2+3+...+n) + (n+1).
Nota: Observe
que o número 1 aparece (n+1) vezes, daí, (n+1).1 =
(n+1).
Simplificando a expressão acima, observando que
os termos de expoente 3 cancelam-se mutuamente, fica:
(n + 1)3 = 3(12+22+32+...+n2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).
Ora, a soma 12
+ 22 + 32 + ... +n2 é
justamente o que estamos procurando. Vamos chama-la de S.
A soma
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n é
exatamente a soma dos n primeiros números naturais, os quais
formam uma
Progressão
Aritmética - PA
de primeiro termo 1, último termo igual a n e número de
termos igual também a n. Como já vimos no capítulo
PA, tal soma é dada por:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
n(n+1)/2
Substituindo,
fica:
(n + 1)3 = 3.S
+ 3.n(n+1)/2 + n+1.
Isolando o termo 3S, vem:
3S
= (n+1)3 – (n+1) – 3n(n+1)/2
Multiplicando ambos os membros por 2, vem:
6S
= 2(n+1)3 – 2(n+1) – 3n(n+1)
Colocando n+1 em evidencia no segundo membro, fica:
6S =
(n+1)[2(n+1)2 – 2 – 3n]
Efetuando
as operações indicadas no segundo membro, vem:
6S =
(n+1)[2(n2+2n+1) – 2 – 3n]
6S = (n+1)(2n2
+ 4n + 2 – 2 – 3n)
6S = (n+1)(2n2 + n)
6S
= (n+1).n.(2n +1)
Finalmente, fica:
A fórmula acima, permite o cálculo da soma dos
quadrados dos n primeiros números naturais positivos, ou seja
12+22+...+n2.
Como a soma S acima é sempre um número inteiro, podemos concluir da expressão acima, que o produto n(n+1)(2n+1), sendo n um número natural, é um número divisível por 6.
Como n(n+1)(2n+1) = (n2+n)(2n+1) = 2n3 + 3n2 + n, podemos dizer de uma forma genérica que o valor numérico do trinômio 2n3 + 3n2 + n será sempre um número divisível por 6, para todo número natural n.
Exemplo:
Qual a soma dos quadrados dos 20 primeiros números
naturais positivos?
Teremos, fazendo n = 20 na fórmula anterior:
S20
= 20.(20+1)(2.20+1)/6 = 20.21.41/6 = 17220/6 = 2870.
Ou seja, 12
+ 22 + 32 + ... + 192 + 202
= 2870.
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Paulo Marques, 12 de Novembro de 2000 - Feira de Santana - BA. Revisado e ampliado em 25/12/2004.