Determine a express�o simplificada do desenvolvimento do
somat�rio a seguir:
Solu��o:
Sabemos da f�rmula do desenvolvimento de um Bin�mio de Newton do tipo (a + b )n ,
que:
(a + b)n �= Cn,0 .
an + Cn,1.a n-1.b + Cn,2.a n-2.b2
+ Cn,3.a n-3.b3 + ... +�
Cn,k.xn-k + ... +� Cn,n.bn
No caso particular de�
a = x�
e� b = 1, poderemos
escrever, substituindo os valores:
(x + 1)n �= Cn,0 . xn + Cn,1.x n-1
+ Cn,2.x n-2 + Cn,3.x n-3 + ... + Cn,k.xn-k +
... + Cn,n-1.x + Cn,n
Poderemos escrever a rela��o acima, de �tr�s p�ra frente� ,
como:
(x + 1)n = Cn,n + Cn,n-1.x + Cn,n-2.x2
+ Cn,n-3.x3 + ... + Cn,n-n.xn
Sabemos da An�lise Combinat�ria
que:
Cn,k = Cn,n-k�� (Propriedade dos
N�meros Binomiais complementares)
Portanto, teremos:
Cn,n-1 = Cn,1
Cn,n-2 = Cn,2
Cn,n-3 = Cn,3
.................
e, assim sucessivamente.
Substituindo na igualdade acima, vem que:
(x + 1)n = Cn,0 + Cn,1.x
+ Cn,2.x2 + Cn,3.x3 + ... + Cn,n.xn
Temos ent�o, em resumo,�
as duas igualdades abaixo, apenas reescritas, para facilitar o
acompanhamento:
(x + 1)n �= Cn,0 . xn + Cn,1.x n-1
+ Cn,2.x n-2 + Cn,3.x n-3 + ... + Cn,k.xn-k +
... + Cn,n-1.x + Cn,n
(x + 1)n = Cn,0.x0
+ Cn,1.x1 + Cn,2.x2 + Cn,3.x3
+ ... + Cn,n.xn
Considerando que� xn
. x0 = xn-1.x1 = xn-2.x2
= ... = xn , conclu�mos que se multiplicarmos as duas express�es
acima, membro a membro, obteremos para o coeficiente de xn, no
segundo membro, a soma:
(Cn,0)2 + (Cn.1)2
+ (Cn,2)2 + (Cn,3)2 + ... + (Cn,n)2
Para o produto dos primeiros membros, obteremos
evidentemente:
(x + 1)n . (x + 1)n = (x + 1)2n
O problema agora � determinar o coeficiente de xn
, no desenvolvimento do Bin�mio de Newton�
(x + 1)2n .
Ora, sabemos que o termo geral do desenvolvimento de um bin�mio
(a + b)m � dado por:
Como no nosso caso� m = 2n , a = x� e� b = 1,�
vem:
Para obter xn na igualdade acima, deveremos
ter� 2n � p = n� \ p = n.
Fazendo ent�o p = n na igualdade acima, obteremos:
Observe que 1p = 1n = 1.
Das infer�ncias ou dedu��es acima, conclu�mos
inevitavelmente que:
Ora
companheiros estudantes. Se voc�s conseguiram entender o desenvolvimento do
exerc�cio,� at� aqui, o resto � f�cil,
sen�o vejamos:
O problema pediu para determinar o somat�rio e, portanto,
vem finalmente que:
Nota: O
s�mbolo de somat�rio
Considere a seq��ncia <an>
= (a1, a2, a3, a4, ... , an
, ...)
A soma dos n primeiros termos
da seq��ncia acima, seria expressa por:
Sn = a1 +
a2 + a3 + a4 + ... + an
A soma acima, pode ser reescrita de uma forma mais compacta e bastante �til, utilizando a nota��o de somat�rio, conforme indicado abaixo:
Onde S � a letra grega sigma (mai�scula) e o s�mbolo acima deve ser lido como: somat�rio de todos os ai com i variando de 1 a n.
Os valores de i s�o denominados limites inferior e superior do somat�rio. No presente caso, o limite inferior � 1 e o limite superior � n.
Assunto para revis�o:
Bin�mio de Newton
Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 18 de Setembro de 2000 - atualizado em 16/01/2005.