Vestibulares do Brasil V

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1 - FUVEST  - Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a 6,2 e 7,0.
A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a 6,5.

a) a maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou de meninas?
b) que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?

SOLUÇÃO:

Dados r valores A₁, A₂, A₃, ... , A_r, a média aritmética desses r valores será igual a  (A₁ + A₂ + A₃ + ... + A_r)/r.

Sejam k meninos com notas N₁, N₂, ... , N_k e p meninas com notas
M₁, M₂, ... , M_p.
Teremos do enunciado da questão:

[(N₁ + N₂ + ... + N_k)/k] = 6,2 \ (N₁ + N₂ + ... + N_k) = (6,2).k
[(M₁ + M₂ + ... + M_p)/p] = 7,0 \ (M₁ + M₂ + .. . + M_p) = (7,0).p

Como a média geral da classe (meninos + meninas) foi igual a 6,5 , poderemos escrever:
[(N₁ + N₂ + ... + N_k)+ (M₁ + M₂ + ... + M_p)]/(k + p) = 6,5

Portanto,
[(N₁ + N₂ + ... + N_k)+ (M₁ + M₂ + ... + M_p)] = (6,5).(k + p)

Substituindo os valores já encontrados, fica:
(6,2).k + (7,0).p = (6,5).(k + p)= (6,5).k + (6,5).p

Simplificando e arrumando , vem:
(7,0).p – (6,5).p = (6,5).k – (6,2).k
(0,5).p = (0,3).k
Logo, k = (0,5).p / (0,3)= (5/3).p = 1,6667.p ou seja: k = 1,6667.p

Como k é o número de meninos e p o número de meninas, concluímos que existem na classe, mais meninos do que meninas, pois k > p.

O percentual de meninos será dado por [k/(k+p)].100%.
Como k = 1,6667.p, substituindo, fica:
[1,6667.p/(1,6667.p + p)].100% = [1,6667.p / 2,6667.p].100% = 62,50%

Respostas:
a) meninos
b) 62,50%

2 - UEAP - A função quadrática em que  (0;2) seja um ponto pertencente ao seu gráfico e que tem um mínimo no ponto (-1; -3) é 
y = mx2 + nx + p. Nestas condições, o valor da expressão 
m2 + n2 + p2  é:

a) 129
b) 192
c) 291
d) 219
e) 912

SOLUÇÃO:

Como os pontos (0;2) e (-1,-3) pertencem ao gráfico da função, podemos escrever:
2 = m.0² + n.0 + p  \ p = 2.
-3 = m.(-1)² + n.(-1) + p  \ m – n + p + 3 = 0
Como p = 2, vem que  m – n + 5 = 0 \ m = n – 5.
O vértice do gráfico da função é o ponto (-1,-3), logo, poderemos escrever, lembrando que x_v = - b/2.a , abscissa do vértice da parábola 
y = ax² + bx + c.
No nosso caso, temos  a = m, b = n e c = p. Logo, como x_v = -1, substituindo, vem:
-1 = - n/2.m e, portanto, n = 2.m

Então:
m = n – 5 = 2m – 5 \ m = 5  e portanto n =2.m = 10.

Finalmente, 
m² + n² + p² = 5² + 10² + 2² = 25 + 100 + 4 = 129.

Portanto, a alternativa correta é a de letra A.

3 - UFBA - Sabendo-se que sen(p/2 + a)= 1/3, 0 < a < p/2 e que
E = tg(p - a) + (21/4).sen2a + cos(a + p/6), determine o valor de
Ö3/E.

SOLUÇÃO:

Sabemos da Trigonometria que:

sen(p/2 + a) = sen(p/2).cosa + sena .cos(p/2) = 1.cosa + sena.0 = cosa
tg(p - a) = - tga
sen2a = 2.sena.cosa
cos(a + p/6) = cosa . cos(p/6) – sena . sen(p/6) 
= cosa.(Ö3/2) – sena.(1/2)
Usando os dados da questão, já concluímos acima que cosa = 1/3.
Como o arco pertence ao 1º quadrante, sena é positivo.
Então, da relação fundamental da Trigonometria sen²a + cos²a = 1, tiramos sen²a = 1 – cos²a = 1 – (1/3)² = 8/9 \ sena = 2Ö2/3
A expressão dada fica, substituindo os valores conhecidos:
E = -tga +(21/4).2.sena.cosa + (cosa.(Ö3/2) – sena.(1/2))
E = (-sena /cosa) + (21/4).2.sena.cosa + (cosa.(Ö3/2) – sena.(1/2))
E = -(2Ö2/3)/(1/3) + (21/4).2.(2Ö2/3).(1/3) + [(1/3).(Ö3/2) - 2Ö2/3).(1/2)].
Efetuando os cálculos indicados, vem:

E = -2Ö2 + 21Ö2/9 + Ö3/6 - 2Ö2/6

Ora, como o problema pede o cálculo de Ö3/E, vem imediatamente:
Ö3/E = Ö3/(Ö3/6) = 6
Portanto, a resposta é 6.

4 - PUC-SP - Um enxadrista quer  decorar uma parede retangular, dividindo-a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40m por 2,75m. Qual o menor número de quadrados que ele pode colocar na parede?

a) 40
b) 88
c) 55
d) 16
e) 30

SOLUÇÃO:

Para que o número de quadrados seja o menor possível, a dimensão dos lados dos quadrados deverá ser a maior possível. Ora, os valores das medidas dos lados em centímetros, valem 440 cm e 275 cm.
Temos que determinar o máximo divisor comum – MDC  de 440 e 275.

Usando o método das divisões sucessivas, vem:

 

Portanto, MDC(440,275) = 55
Logo, concluímos que a medida dos lados dos quadrados deverá ser igual a 55 cm.
Então, no lado de 440 cm caberão 440/55 = 8 medidas de 55 cm e no lado de 275 cm caberão 275/55 = 5 medidas de 55 cm.

Finalmente, concluímos que 8x5 = 40 será o número de quadrados procurado.

A alternativa correta é, então, a de letra A.

Paulo Marques, 02 de setembro de 2000 – Feira de Santana – BA.

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