| UFBa 2000 - Questão Discursiva - 2ª Fase |
INSTRUÇÕES:
• Responda à questão com caneta de tinta azul, de forma
clara e legível.
• Caso utilize letra de imprensa, destaque as iniciais
maiúsculas.
• O rascunho deve ser feito no local apropriado do Caderno
de Questões.
• Na Folha de Resposta, utilize apenas o espaço destinado
à resposta, indicando, de modo completo, as etapas e os
cálculos envolvidos na resolução da questão.
Considere f, g e h as funções reais cujos gráficos estão representados nos diagramas cartesianos abaixo.
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| f(x) = mx + n | g(x) = ax2 + bx + c | h(x) = A + B . 3x |
NOTA: nos gráficos acima:
f(x): reta formando ângulo de 60º com o eixo dos x e cortando o
eixo dos y no ponto de ordenada .-Ö3
g(x): parábola que passa pelos pontos (1,0) e (1/2,1/2)
h(x): curva exponencial que passa pelos pontos (0,3) e (1,5)
Calcule g(f- 1(x1)) + h- 1(x2),
sendo x1 a menor raiz da equação g(x) = 2 e x2 a
raiz da equação h(x) = 29.
Indique, de modo completo, toda a resolução da questão.
SOLUÇÃO:
Vamos iniciar pela função g(x). Como
vemos na figura, o seu gráfico contém os pontos (1/2, 1/ 2) e
(1,0). Assim, g(1/2) = 1 /2 e g(1) = 0.
Como g(x) = ax2 + bx + c, vem, por substituição:
1/2 = a. (1/2)2 + b.(1/2) + c \ 1/2 = a/ 4 + b/2 + c \ 2 = a + 2b + 4c
Analogamente,
0 = a . 12 + b.1 + c \ 0 = a + b + c
Como o gráfico tangencia o eixo dos x,
temos que D
= b2 - 4ac = 0.
Como o vértice da função é o ponto (1,0), temos xv
= 1.
Ora, xv = - b / 2.a
Logo,
1 = -b /2.a \
-b = 2.a \ b
= - 2.a
Assim,
2 = a + 2b + 4c .............. (1)
0 = a + b + c .................. (2)
b2 - 4ac = 0 ................... (3)
b = - 2.a ......................... (4)
Substituindo o valor de b em (4) na
igualdade (3), fica:
4.a2 - 4ac = 0 \ 4.a (a - c) = 0
Como a é não nulo, pois a função é do 2º grau, vem
que a - c = 0, de onde conclui-se que a = c.
Substituindo este resultado nas igualdades (1) e (2), vem:
2 = 5.a + 2b
0 = 2.a + b \
b = -2.a
Portanto, 2 = 5.a + 2(-2.a) \ a = 2.
Daí, vem imediatamente que:
b = -2.a = -2.2 = -4 e c = a = 2.
A função g(x) é portanto: g(x) = 2x2 - 4x + 2
Vamos agora identificar a função f(x) =
mx + n
O seu gráfico é uma reta que forma um ângulo de 60º com o
eixo dos x e corta o eixo dos y no ponto de ordenada - Ö 3, conforme vemos na
figura dada.
Logo, m = tg60º = Ö 3 e n = - Ö 3
Portanto, f(x) = Ö 3 x - Ö 3
Para a resolução da questão, torna-se
necessario calcular a função inversa f-1(x).
Temos: f(x) = y = Ö 3 x - Ö 3
Permutando x por y e vice-versa, vem: x = Ö 3 y - Ö 3
Daí, vem: y = (x + Ö 3) / Ö 3 = (Ö 3 /3) x + 1
Portanto, f-1
(x) = (Ö 3 /3) x + 1
Vamos agora tratar de identificar a
função h(x) = A + B . 3x
Do gráfico dado, vemos que:
h(0) = 3 e h(1) = 5
Substituindo, vem:
h(0) = A + B.30 \ 3 = A + B.1 \ A + B = 3
h(1) = A + B.31 \ 5 = A + 3B \ A + 3B = 5
Resolvendo o sistema acima, encontramos: A = 2 e B = 1.
Logo, a função h(x) é: h(x) = 2 + 3x
Para a solução do problema, temos que
achar a inversa h-1(x).
Temos: h(x) = y = 2 + 3x
Permutando x por y e vice versa, fica:
x = 2 + 3y
3y = x - 2 \ y = log3(x - 2) . Então, h-1(x) =
log3(x - 2),
que é a função inversa procurada.
Vamos agora determinar os valores de x1 e x2
.
Do enunciado, temos que x1 é a menor raiz da
equação g(x) = 2.
Como já conhecemos g(x), determinada anteriormente, temos:
g(x) = 2x2 - 4x + 2 = 2 \ 2x2 - 4x = 0 \ 2x(x - 2) = 0 \ x = 0 ou x = 2.
Como x1 é a menor raiz da
equação g(x) = 2, vem imediatamente que x1 = 0.
Do enunciado, temos que x2 é a raiz da equação h(x)
= 29.
Portanto, h(x) = 2 + 3x = 29 \ 3x = 27 \ x = 3
Logo, vem imediatamente que x2 = 3.
A questão solicita que seja calculado g(f- 1(x1))
+ h- 1(x2),
sendo x1 a menor raiz da equação g(x) = 2 e
x2 a raiz da equação h(x) = 29.
Já dispomos à esta altura, de todos os dados necessários à
solução final do problema.
Vejamos então:
f-1 (x) = (Ö 3 /3) x + 1
h-1(x) = log3(x - 2)
Logo:
f -1(x1) = f -1 (0) = (Ö 3 /3).0 + 1 = 1
h -1 (x2) = h -1 (3) = log3(3
- 2) = log3 1 = 0
Precisamos calcular g(f -1 (x1)).
Substituindo o valor de f -1(x1) = 1, fica
g(1).
Mas, g(x) = 2x2 - 4x + 2
Logo,
g(1) = g(f- 1(x1))
= 2.12 - 4.1 + 2 = 0
Portanto, finalmente, g(f- 1(x1)) + h- 1(x2)
= 0 + 0 = 0
O valor procurado é, então, igual a zero.
Paulo Marques, Feira de Santana, 20 de abril de 2000.