| UFBa 2000 - 02 - 2ª Fase |
Assinale as proposições verdadeiras,
some os números a elas associados e marque o resultado na Folha
de Respostas.
Nota:
u.c. = unidades de comprimento
u. a. = unidades de área.
u.v. = unidades de volume
| Na pirâmide representada pela
figura ao lado, tem-se que: • a base é um triângulo isósceles, retângulo em A, e AB mede 4 u.c.; • a face BCD é um triângulo equilátero, sendo o seu plano perpendicular ao plano da base da pirâmide. Nessas condições, pode-se afirmar: (01) O perímetro do triângulo ABC mede 12Ö2 u.c. (02) A altura do triângulo BCD mede 2Ö6 u.c. |
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(04) O comprimento da circunferência circunscrita à base da pirâmide é igual a 4Ö2 p u.c.
(08) A área lateral do cone circular reto, de base circunscrita ao triângulo ABC e de mesma altura que a pirâmide, mede 16p u.a.
(16) O volume da pirâmide é igual a 16Ö6 u.v.
SOLUÇÃO:
(01) Se o triângulo ABC
é isósceles e retângulo em A, temos AC = AB = 4 u.c.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, fica:
AC2 + AB2 = BC2 ou 42
+ 42 = BC2 = 32 = 16.2 \ BC = 4Ö2 u.c.
Portanto o perímetro será igual a p = 4 + 4 + 4Ö2 = 8 + 4Ö2 = 4(2 + Ö2 ) e, portanto, a
alternativa (01) é Falsa.
(02) Como BC = 4Ö2 e o triângulo ABC é
equilátero, a sua altura relativa ao lado BC será igual a
h = L Ö3 /
2, onde L é a medida do lado BC.
Logo, h = 4Ö2
. Ö3 / 2 =
2Ö6 u.c. e,
portanto, a alternativa (02) é Verdadeira.
(04) Sabemos que a área S
de um triângulo ABC de lados medindo a, b e c, pode ser
calculada pela fórmula S = abc / 4R, onde R é o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo.
a) cálculo da área do triângulo ABC
Como o triângulo ABC é retângulo em A e AB = BC = 4 u.c. , vem
imediatamente que:
S = 4.4 / 2 = 8 u.a.
b) Cálculo do raio R
Sendo S = abc / 4R , vem que: R = abc / 4S
Substituindo os valores calculados anteriormente, fica:
R = 4.4.4Ö2
/ 4.8 = 2Ö2
u.c.
Portanto, o comprimento da circunferência circunscrita será:
C = 2p R = 2p .2Ö2 = 4Ö2 p u.c.
Portanto, a alternativa (04) é Verdadeira.
(08) Sendo a face BCD
contida num plano perpendicular à base da pirâmide - conforme
está dito no enunciado da questão - a altura da pirâmide será
coincidente com a altura do triângulo BCD, que também pelo
enunciado, sabemos ser equilátero, ou seja, as medidas dos lados
BC, CD e BD são iguais:
BC = CD = BD.
A altura será então dada por h = 2Ö6 u.c. , conforme já calculamos no item (02) acima.
Esta é, como sabemos, a altura da pirâmide em relação à base
ABC.
O cone circular reto descrito no item (08) possui base
circunscrita ao triângulo ABC e altura coincidente com a da
pirâmide. Portanto:
h = 2Ö6
u.c. e raio do círculo circunscrito à base R = 2Ö2 u.c. , conforme
calculamos no item (b) acima.
A área lateral de um cone é dada por S
= p Rg, onde R é o
raio da base e g é a geratriz do cone. A medida
da geratriz do cone, neste caso, coincide com as medidas das
arestas CD, DB e AD, que possuem comprimento igual a 4Ö2 u.c . Então,
substituindo os valores, vem:
S = p .2Ö2.4Ö2 = p .16 = 16p u. a.
Nota: verifique que AD = 4Ö2 u.c.; para isto, observe que sendo H a projeção do ponto
D sobre o plano da base, pode-se escrever que o quadrado de AD é
igual à soma dos quadrados de DH e AH, pelo Teorema de
Pitágoras. Esta verificação, deixamos para você. Se você
estiver realmente estudando e não somente lendo o arquivo, isto
será bem fácil.
Logo, a alternativa (08) é Verdadeira.
(16) O volume da pirâmide
é dado por:
V = 1/3 . Sb.h , onde Sb é a área da
base.
Logo, substituindo os valores já calculados nos itens
anteriores, vem imediatamente:
V = (1/3).8.2Ö6 = (16/3).Ö3 u.v.
Portanto, a alternativa (16) é Falsa.
Como somente as alternativas (02) e (04) e
(08) são verdadeiras, a resposta correta será a
soma 02 + 04 + 08 = 14. Deverá ser assinalado 14 na Folha de
respostas.
Paulo Marques - Feira de Santana, 20 de abril de 2000.