| UFBa 2000 - 01 - 2ª Fase |
Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.
1 - Com base nos conhecimentos sobre análise combinatória, é verdade:
| (01) | Podem-se escrever 24 números pares, compreendidos entre 99 e 1000, com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los. |
| (02) | Um grupo de turistas tem 30 maneiras diferentes para escolher 3 roteiros de passeio distintos, dentre os 10 oferecidos por uma agência. |
| (04) | Uma pessoa tem 24 opções para ir da cidade A para a cidade B, passando pelas cidades C, D, E e F. |
| (08) | Se Cm,3 - Cm,2 = 0, então m pertence ao intervalo [5, 7]. |
| (16) | Se  = 20, então x é
um número par. |
SOLUÇÃO:
| (01) | Podem-se escrever 24 números pares, compreendidos entre 99 e 1000, com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los. |
Os números pares sendo maiores do que 99 e menores do que 1000, serão necessariamente de tres algarismos, da forma XY2 ou XY4, já que é dito que os números são pares.
1º caso: XY2
Para a primeira posição X existem 4 possibilidades de escolha:
3, 4, 5 ou 7
Para a segunda posição Y existem 3 possibilidades de escolha,
já que não pode haver repetição.
Portanto, existirão 4.3 = 12 possibilidades para o primeiro
caso.
2º caso: XY4
Com o mesmo raciocínio anterior, concluiremos que existem
também 12 possibilidades de escolha
(4.3 = 12).
Logo, o número total de possibilidades será igual a 12 + 12 =
24 e, portanto, a alternativa (01) é Verdadeira.
| (02) | Um grupo de turistas tem 30 maneiras diferentes para escolher 3 roteiros de passeio distintos, dentre os 10 oferecidos por uma agência. |
Para escolher 3 roteiros entre 10
possíveis, isto pode ser feito de C10,3 maneiras
distintas, ou seja:
C10,3 = 10! / (10 - 3)! . 3! = 10! / 7! . 3! =
10.9.8.7! / 7! . 3.2.1 = 120
Logo, a alternativa (02) é Falsa.
| (04) | Uma pessoa tem 24 opções para ir da cidade A para a cidade B, passando pelas cidades C, D, E e F. |
Os percursos possíveis serão dos tipos
ACDEFB, ADCEFB, etc. Percebe-se então que deveremos efetuar
todas as permutações possíveis de C, D, E e F, ou seja:
4! = 4.3.2.1 = 24 possibilidades
Portanto, a alternativa (04) é verdadeira.
| (08) | Se Cm,3 - Cm,2 = 0, então m pertence ao intervalo [5, 7]. |
Teremos:
m! / (m - 3)! . 3! = m! / (m - 2)! . 2!
Desenvolvendo, fica:
m(m - 1)(m - 2)(m - 3)! / (m - 3)! . 3.2.1 = m(m - 1)(m - 2)! /
(m - 2)! . 2. 1
Simplificando:
m(m - 1)(m - 2) / 6 = m(m - 1)
/ 2 \ m -2 /
6 = 1 / 2 \
m = 5
Portanto, m pertence ao intervalo [5, 7] é Verdadeira.
| (16) | Se = 20, então x é
um número par. |
Poderemos escrever: (x + 2)! = 20. x!
Desenvolvendo, fica:
1.2.3.4. ... . x.(x + 1).(x + 2) = 20.1.2.3.4. ... . x
Simplificando, vem:
(x + 1) (x + 2) = 20
x2 + 3x + 2 - 20 = 0
x2 + 3x - 18 = 0
Resolvendo esta equação do segundo grau, obteremos x = -6 ou x = 3. Como a raiz negativa não serve, já que estamos falando de fatoriais - conceito associado a números inteiros não negativos, teremos que x = 3, sendo portanto um número ímpar. Portanto, a alternativa (16) é Falsa.
Somando os valores das alternativas
verdadeiras, teremos: 1 + 4 + 8 = 13
Portanto deveria ser marcado o número 13 na Folha de
Respostas.
Paulo Marques, Feira de Santana, 21 de abril de 2000.