Duas esferas metálicas maciças, com raio R1 = 3cm e R2 = 6cm, são fundidas e moldadas em forma de um cone circular reto C , com altura igual a 12 cm. Sendo:

• C₁ o cilindro circular reto de mesma base e altura que C;
• P a pirâmide quadrangular regular reta de base circunscrita à base de C e mesma altura que C;

Calcule o comprimento da circunferência de raio R igual ao quádruplo da razão entre os volumes de C₁ e P, indicando, de modo completo, toda a resolução da questão.

SOLUÇÃO:

Pelo enunciado da questão, o volume do cone circular reto C, será igual à soma dos volumes das esferas metálicas, já que o cone resultou da fundição das duas esferas. Posto isto, podemos prosseguir.

O volume de uma esfera é dado por V = (4/3).p .R³ . Logo,
Volume da esfera 1:
V₁ = (4/3).p .3³ = 36p cm³
Volume da esfera 2:
V₂ = (4/3).p .6³ = 288p cm³

O volume do cone C será então igual a V = V₁ + V₂ = 36p + 288p = 324p cm³
O volume de um cone é dado por V_C = (1/3). S_b.h onde S_b é a área da base e h a sua altura. Como é dado que h = 12, vem: 324p = (1/3).S_b . 12 \ S_b = 81p cm²

Vamos agora, calcular o volume do cilindro C₁, que possui, conforme o enunciado da questão, a mesma base e altura que C.
O volume de um cilindro é dado por V = S_b.h
Portanto, V_cil = 81p . 12 = 972p cm³

Vamos agora, calcular o volume da pirâmide P, que possui, conforme o enunciado da questão, a base circunscrita à base de C e mesma altura que C.

Para achar o raio da base do cone C, lembremos que a área da base do cone vale 81p cm² e que a área de um círculo é dada por S = p .R² . Logo, 81p = p .R² \ R = 9 cm

Como a base da pirâmide quadrangular regular reta P é um quadrado circunscrito à base do cone C, podemos observar pela figura abaixo, que a medida do lado da base da pirâmide P será igual a 18 cm.

Daí, podemos calcular a área da base da pirâmide P:
S_b = 18² = 324 cm²

Como a altura da pirâmide P é igual à altura do cone C, devido à afirmativa contida no enunciado da questão, teremos que a altura de P será h = 12 cm.
Portanto, o volume de P será:
V_P = (1/3).S_b.h = (1/3).324.12 = 1296 cm³

A razão entre os volumes de C₁ e P será então igual a:
V_C1 / V_P = 972p / 1296 = 3p /4

O problema pede o cálculo do comprimento da circunferência de raio R igual ao quádruplo da razão entre os volumes de C₁ e P .
O quádruplo da razão entre os volumes - encontrada acima - será igual a:
4.3p /4 = 3p

Ora, a circunferência a qual queremos achar o comprimento, possui raio igual a 3p
O comprimento de uma circunferência, como sabemos, é dado por 2p R.
Logo, o comprimento da circunferência será:
2p .3p = 6p ² cm
E esta, é finalmente, a resposta.

Paulo Marques, Feira de Santana, 21 de abril de 2000.

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