| Dois problemas no espaço |
| Considere um cubo unitário, ou seja, um cubo cujas arestas têm comprimentos iguais a 1. Determine a medida do ângulo formado pelos segmentos AB e AC. |
SOLUÇÃO:
As arestas do cubo medem 1. Portanto:
AC2 = 12 + 12 = 2 \ AC = Ö 2
AB2 = 12 + 12 = 2 \ AB = Ö 2
Para o cálculo de BC, observe que B e C são
vértices não consecutivos de uma mesma face, e portanto, também,
pela figura:
BC2 = 12 + 12 = 2 \ BC = Ö 2
Ora, os lados do triângulo ABC possuem medidas iguais. Logo, o triângulo ABC é eqüilátero. Então, os seus ângulos internos valem 60º e, concluímos, pois, que o ângulo formado pelos segmentos AB e AC vale 60º.
Poderíamos também interpretar da seguinte
forma:
Os segmentos AB, AC e BC são diagonais das faces do cubo e,
portanto, possuem a mesma medida. Logo, o triângulo ABC é eqüilátero. Daí, a conclusão que o ângulo buscado é igual a 60º, é
inevitável.
| Sabendo-se que C é o ponto médio de AB, cujo comprimento vale 12 metros, pede-se determinar o comprimento de DE na figura abaixo. |
SOLUÇAO:
Observando que ADE, CDE e BDE são triângulos
retângulos, poderemos escrever, lembrando que
tg 45º = 1 e tg 60º = Ö 3 :
DE = AD . 1 = AD
DE = BD . 1 = BD
DE = CD . Ö 3
Verificamos imediatamente que AD = BD , o
que nos leva a concluir que o triângulo ADB é isósceles
pois possui dois lados de mesma medida.
Considerando que C é o ponto médio de AB, poderemos desenhar o seguinte triângulo isósceles, observando as igualdades escritas acima:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo ADC, vem:
Paulo Marques, 16 de fevereiro de 2000 - Feira de Santana - BA - Revisto em 23/08/2009.