Vestibulares do Brasil III

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UFPE 1999 - Num exame, a média aritmética das notas dos alunos aprovados foi 75 e a dos alunos reprovados foi 40. Se a média de todos os examinados foi 45, assinale o inteiro mais próximo da percentagem de reprovados em relação ao total. A) 70 B) 76 C) 80 D) 86 E) 88 SOLUÇÃO:

Considere que :
foram aprovados n alunos : a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n
foram reprovados m alunos : r₁ , r₂ , r₃ , ... , r_m
Utilizando o conceito de média aritmética, podemos escrever:
(a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n) / n = 75 \ a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n = 75n

Analogamente,
(r₁ + r₂ + r₃ + ... + r_m ) / m = 40 \ r₁ + r₂ + r₃ + ... + r_m = 40m

Como a média global foi igual a 45, podemos escrever:
[(a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n) + (r₁ + r₂ + r₃ + ... + r_m )] / (m + n) = 45

Observe que o número total de alunos que fizeram o exame é igual a m + n .
Daí, vem: [(a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n) + (r₁ + r₂ + r₃ + ... + r_m )] = 45(m + n)
Substituindo os valores das parcelas, fica:
75n + 40m = 45(m + n)

Desenvolvendo e simplificando, vem:
75n + 40m = 45m + 45n
75n - 45n = 45m - 40m
30n = 5m
Portanto: m = 6n , ou seja: o número de reprovados vale 6 vezes o número de aprovados.

Logo, para calcular a percentagem procurada, teremos:
m / (m + n) = 6n / (6n + n) = 6n / 7n = 6/7 = 0,8571 = 85,71%
Portanto, o valor aproximado solicitado é igual a 86 % , o que nos leva à alternativa D.

ITA 1996 - O valor da potência abaixo é: A) (- 1 + i) / Ö 2 B) (1 + i) / Ö 2 C) (-1 - i) / Ö 2 D) (Ö 2 )93 i E) (Ö 2 )93 + i SOLUÇÃO:

Sabemos que (a / b) ^m = a^m / b^m

Portanto,
[Ö 2 / (1 + i)]⁹³ = (Ö 2) ⁹³ / (1 + i)⁹³
Sabemos que (1 + i)² = 1² + 2.1.i + i² = 1 + 2i -1 = 2i (observe que i² = -1)
Mas, (1 + i)⁹³ = (1 + i)⁹² . (1 + i) = [(1 + i)²]⁴⁶ . (1 + i) = (2i)⁴⁶ . (1 + i) = 2⁴⁶ . i⁴⁶ . (1 + i)
Ora, i⁴⁶ = (i²)²³ = (-1)²³ = -1 . Logo, vem:
(1 + i)⁹³ = - 2⁴⁶ . (1 + i)

Substituindo na expressão dada, vem:
[Ö 2 / (1 + i)]⁹³ = (Ö 2) ⁹³ / (1 + i)⁹³ = (Ö 2) ⁹³ / [- 2⁴⁶ . (1 + i)]
Lembrando que Ö 2 = 2^1/2, substituindo, vem:
[Ö 2 / (1 + i)]⁹³ = (Ö 2) ⁹³ / (1 + i)⁹³ = 2^93/2 / [- 2⁴⁶ . (1 + i)] = - [2^{93/2 - 46} / (1 + i)]
[Ö 2 / (1 + i)]⁹³ = - [2^{93/2 - 46} / (1 + i)] = - 2^1/2 / (1 + i) = - Ö 2 / (1 + i)

Efetuando a divisão indicada em negrito, vem:

Como a resposta acima, não está igual a nenhuma das alternativas, vamos escreve-la numa forma equivalente, ou seja:

Observe que 2 / Ö 2 = Ö 2 .
Portanto, a alternativa correta é a letra A .

PAULO MARQUES, Feira de Santana - BA - 05/01/2000.

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