1 – UFBA 98 – 1ª fase – Durante 15 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorre 40 km; no segundo, 60 km; no terceiro, 80 km; e assim sucessivamente, até o último dia, quando percorre x km. Calcule x/10.
Solução:
Temos a seguinte seqüência: (40, 60, 80, ... , x). Como
são 15 dias, temos uma Progressão aritmética – P.A.
de 15 termos, onde: razão = r = 20; primeiro termo = a1
= 40; décimo quinto termo = a15 = x ; Logo, usando a
fórmula do termo geral de uma P.A. , poderemos escrever:
a15
= a1 + (15 – 1).r
Substituindo os valores conhecidos, vem:
x = 40 + 14 . 20 Þ
x = 40 + 280 = 320
Ora, sendo x = 320, conclui-se que x/10 = 320/10
= 32
Resposta: 32.
2 – UFBA 98 – 1ª fase – Uma rede de lojas comprou uma mercadoria à vista, com 20% de desconto sobre o preço de tabela e teve uma despesa de R$50,00 com transporte e impostos. Na venda dessa mercadoria, obteve lucro de 20% sobre o total desembolsado.
Se o preço de venda foi R$540,00, então
pode-se afirmar :
(01) O preço de tabela era R$500,00
(02) O preço à vista foi R$400,00
(04) O lucro obtido foi R$60,00
(08) O desconto sobre o preço de tabela foi
R$40,00
(16) As despesas com transporte e impostos corresponderam
a 12,5% do preço à vista.
Comentário: este tipo de questão consiste em identificar as proposições verdadeiras, somar os números a elas correspondentes e marcar o resultado na Folha de Respostas.
Solução:
Seja x o preço de tabela. Portanto o total desembolsado
= Td foi igual a:
Td = 80% de x + 50 = 0,80x + 50.
A mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre
o total desembolsado (Td). Daí, poderemos dizer, de acordo
com o enunciado que:
1,20 . Td = 540 \
1,20(0,80x + 50) = 540
Resolvendo a equação, fica: 0,96x
+ 60 = 540 Þ
0,96x = 480 Þ
x = 480/0,96
Logo, x = 48000/96 = R$500,00 ( preço de
tabela) . Logo (01) é verdadeira.
O preço à vista foi 80% de x (já
que o desconto foi 20%) . Então, o preço à vista era
igual a
80% . R$500,00 = 0,80 . 500 = R$400,00.
Portanto (02) é também verdadeira.
Sabemos que o total desembolsado é igual a Td = 0,80.x + 50 = 0,80.500 + 50
Portanto, Td = R$450,00 . Como o lucro foi de 20% sobre o total desembolsado, vem que o lucro L foi igual a L = 20% de R$450,00 = 0,20 . 450 = R$90,00 e portanto (04) é falsa.
O desconto foi de 20% sobre o preço de tabela,
portanto,
20% de R$500,00 = 0,20 . 500 = R$100,00. Portanto, (08) é falsa.
As despesas com transporte e impostos, igual R$50,00
em relação ao preço à vista (R$400,00) representa
um percentual igual a 50/400 = 0,125 = 12,5% e portanto (16) é verdadeira.
Concluímos pois que deveria ser assinalado
na Folha de Respostas o número:
01 + 02 + 16 = 19
Resposta: 19
3 – MACK 77 – O menor valor que y pode assumir na função y = cosx + cos2x é:
A) –3/4
B) –7/8
C) –1
D) –9/8
E) 1
Solução:
Sabemos da Trigonometria que cos2x = 2.cos2x –1 (coseno do arco
duplo). Logo, poderemos escrever:
y = cosx + 2.cos2x –1 ou y = 2.cos2x
+ cosx – 1
Vamos fazer cosx = t (mudança de variável).
Teremos:
y = 2t2 + t – 1 , que é uma função
quadrática onde a=2; b=1 e c= -1.
Como o coeficiente do termo do 2º grau é
positivo, sabemos da teoria, que esta função possui um valor
mínimo, dado pela equação:
Logo, o valor mínimo procurado é igual a –9/8, o que nos leva à alternativa D.
4 – Itajubá 77 – Calcular o valor da expressão
53x + 5-3x , sabendo que 5x
+ 5-x = 5.
Solução:
Sabemos que (A+B)3 = A3 +
B3 + 3(A+B)(AB)
Logo, podemos escrever:
(5x + 5-x)3 = 53
; desenvolvendo esta expressão, vem:
53x + 5-3x + 3(5x
+ 5-x)(5x.5-x) = 125. [observe
que 5x . 5-x = 5x-x = 50 =
1]. Logo, vem:
53x + 5-3x + 3(5)(1)
= 125
Portanto, poderemos escrever finalmente:
53x + 5-3x = 125 – 15 = 110
Resposta: 110
5 – FEI 77 – Calcular sen2x sabendo que tgx + cotgx
= 3.
Solução:
Podemos escrever:
Portanto, 2 = 3.sen2x e daí conclui-se que sen2x = 2/3.
Resposta: 2/3
Lembretes:
1) tgx = senx/cosx
2) cotgx = cosx/senx
3) sen2x = 2.senx.cosx
4) Em Trigonometria, é importante saber as
fórmulas, para não ter que deduzi-las na hora da prova!
Paulo Marques - Feira de
Santana - BA - 02 de julho de 1999