1 - Dois arcos são côngruos se a diferença entre as suas medidas for um múltiplo de 360º. Nestas condições, os arcos 20º e 740º são côngruos, pois , 740º - 20º = 720º que é múltiplo de 360º. Considere os arcos trigonométricos A e B, de medidas (3m - 10).180º e (2m + 2).180º. Sendo m um número inteiro maior do que 30 e menor do que 50, pede-se determinar quantos valores de m que tornam côngruos os arcos A e B.

Solução:

Seguindo a definição de arcos côngruos, podemos escrever:
(3m - 10).180º - (2m + 2).180º = k.360º, onde k é um número inteiro.
Colocando 180º em evidencia, vem:
(3m - 10 - 2m - 2).180º = k.360º
Dividindo ambos os membros por 180º, vem:
m - 12 = k.2
m = 2k + 12
Como m está situado entre 30 e 50, vem:
30 < 2k + 12 < 50
30 -12 < 2k + 12 - 12 < 50 - 12
18 < 2k < 38
Dividindo por 2, fica:
9 < k < 19
Logo, k = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 e 18.
Portanto, existem 9 valores possíveis para k e, por conseqüência, já que m = 2k + 12, existem também 9 valores possíveis para m.
Resposta: 9

DICA: a quantidade de números inteiros existentes de m a n, onde m e n são inteiros, com m < n, é dada por n - m + 1.
Por exemplo: de 102 a 305, existem quantos números? A resposta é 305 - 102 + 1, que é igual a 204.
Quantos números existem entre -23 e 58?
Teremos 58 - (-23) + 1 = 82 números de -23 a 58. Como foi perguntado a quantidade de números entre -23 e 58, temos que excluir esses dois, resultando como resposta, 80.
Claro que vocês perceberam que a dica acima, está relacionada diretamente ao assunto Progressão Aritmética (para retornar clique em "VOLTAR" no seu browser). No caso, a PA - Progressão Aritmética , tem razão igual a 1.

2 - Quantos são os arcos côngruos a 420º compreendidos entre os arcos trigonométricos de medidas 1000º e 6400º?

Solução:

Todos os arcos côngruos a 420º possuem a forma geral:
420º + k.360º, onde k é um número inteiro.
Portanto, podemos escrever:
1000º < 420º + k.360º < 6400º
1000º - 420º < 420º + k.360º - 420º < 6400º - 420º
580º < k.360º < 5980º
Dividindo tudo por 360º, vem:
1,6111... < k < 16,6111...
Portanto, os valores possíveis para k, são: k = 2, 3, 4, ... , 15, 16.

Logo, usando a dica vista no exercício anterior, concluímos que existem 16 - 2 + 1 = 15 valores possíveis para k. Logo, como a cada valor de k, corresponde um arco, concluímos que existem 15 arcos côngruos, que satisfazem ao problema dado.
Resposta: 15

3 - Para que valor de m a expressão y = (m - 1)(sen4x - cos4x) + 2cos2x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x?

Solução:

Podemos escrever:
y = (m - 1)[(sen²x - cos²x)(sen²x + cos²x)] + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
Como sen²x + cos²x = 1, substituindo, fica:
y = (m - 1)(sen²x - cos²x) + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
y = msen²x - mcos²x - sen²x + cos²x + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen²x = 1 - cos²x, vem:
y = m(1 - cos²x) - mcos²x - (1 - cos²x) + cos²x + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
y = m - mcos²x - mcos²x - 1 + cos²x + cos²x + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
Simplificando os termos semelhantes, fica:
y = m + (4 - 2m)cos²x + (m - 2)cosx
Para que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e m - 2 = 0 \ m = 2, que é a resposta procurada.
Resposta: 2

4 - Determine os valores reais possíveis para m, de modo que a equação sen3x.cosx - senx.cos3x = - m/4 , possua solução.

Solução:

Colocando senx.cosx em evidencia, vem:
senx.cosx(sen²x - cos²x) = - m/4
Observe que sen²x - cos²x = - (cos²x - sen²x) = - cos2x
Além disto, senx.cosx = (1/2).sen2x, já que sen2x = 2senxcosx
Substituindo, vem:
(1/2).sen2x .(- cos2x) = - m/4
Multiplicando ambos os membros por (-4) , vem:
2sen2xcos2x = m
Ora, se 2senAcosA = sen2A, então 2sen2xcos2x = sen4x
Daí, vem:
sen4x = m
Ora, o seno somente pode variar de -1 a +1. Logo,
-1 £ m £ 1 , que é a resposta procurada.
Resposta: -1 £ m £ 1

5 - Qual o período e qual o conjunto imagem da função y = cos(4x)sen(6x) + sen(4x)cos(6x) ?

Solução:

Como sen(a + b) = sena cosb + senb cosa, vem imediatamente, que:
y = sen(4x + 6x) = sen10x
Portanto:
Conjunto Imagem: I_m = [-1,1]
Período: T = 2p /10 = p /5 radianos.
Revise Trigonometria AQUI. Para retornar, CLIQUE em VOLTAR no seu browser.
Resposta: T = p /5 radianos e  I_m = [-1,1]

6 - Simplifique a expressão E = 8sen10ºcos20ºsen50º

Solução:

Sabemos que :
sen(a+b) = senacosb + senbcosa
sen(a-b) = senacosb - senbcosa
Somando membro a membro, vem:
sen(a+b) + sen(a-b) = 2senacosb
Daí, vem:
sena.cosb = 1/2 [sen(a+b) + sen(a-b)]
Portanto:
sen10º . cos20º = 1/2 [sen(10º + 20º) + sen(10º - 20º)]
sen 10º . cos 20º = 1/2 [sen 30º + sen (- 10º)]
sen 10º . cos 20º = 1/2 [1/2 - sen 10º] Obs: sen( - 10º ) = - sen 10º
Substituindo na expressão dada, vem:
E = 8 . {1/2 [1/2 - sen 10º]}. sen 50º
E = 8 . [1/4 - (sen 10º)/2] . sen 50º
E = [2 - 4.sen 10º] . sen 50º
E = 2.sen50º - 4.sen 10º . sen 50º (eq. 1)
Mas, sena . senb = 1/2 [cos(a-b) - cos(a+b)]
Logo:
sen10º . sen50º = 1/2 [cos(10º - 50º) - cos(10º + 50º)]
sen10º . sen50º = 1/2 [ cos40º - cos60º ] Obs: cos(-40º) = cos40º , pois a função coseno é par ou seja f(-x) = f(x) para todo x.
Substituindo na (eq. 1) acima, vem:
E = 2.sen50º - 4(1/2[cos40º - cos60º])
E = 2.sen50º - 2.cos40º + 1 (Obs: cos60º = 1/2)
E = 2(sen50º - cos40º) + 1
Como 50º e 40º são ângulos complementares, vem que sen50º = cos40º
Daí vem, finalmente:
E = 2.0 + 1
Portanto, E = 8.sen10º.cos20º.sen50º = 1
Resposta: 1

7 - Dada a função f(x) = sen6x + cos6x - 2sen4x - cos4x + sen2x, pede-se calcular f(p /10).

Solução:

Vamos inicialmente, simplificar a expressão que define a função dada. Temos:
f(x) = sen⁶x + cos⁶x - 2sen⁴ x - cos⁴ x + sen²x
Arrumando convenientemente, vem:
f(x) = sen⁶x - 2sen⁴x + sen²x + cos⁶x - cos⁴x
Fatorando a expressão convenientemente em relação a senx e cosx, vem:
f(x) = sen²x (sen⁴x - 2sen²x + 1) + cos⁴x(cos²x - 1)
Observe que:
sen⁴x - 2sen²x + 1 é igual a: (sen²x - 1)².
Lembre-se que p² - 2pq + q² = (p - q)² . Portanto,
sen⁴x - 2sen²x + 1 = (sen²x - 1)².
Daí, substituindo, vem:
f(x) = sen²x(sen²x - 1)² + cos⁴x(cos²x - 1)
Mas, sabemos da Trigonometria, que:
sen²x + cos²x = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria)
Portanto:
sen²x = 1 - cos²x = - (cos²x - 1) \ cos²x - 1 = - sen²x
cos²x = 1 - sen²x = - (sen²x - 1) \ sen²x - 1 = - cos²x
Substituindo na expressão da função, vem:
f(x) = sen²x[- cos²x]² + cos⁴x (- sen²x)
f(x) = sen²x . cos⁴x - cos⁴x . sen²x
f(x) = sen²x.cos⁴x - cos⁴x . sen²x = sen²x.cos⁴x - sen²x.cos⁴x = zero.
Ora, f(x) é então igual a zero, independente do valor de x.
Portanto f(p /10) = 0.
Resposta: 0

8 - Se asenx - cosx = 1 e bsenx + cosx = 1, com a e b reais, pede-se calcular o valor do produto ab, sabendo-se que x é um arco não nulo.

Solução:

Teremos:
asenx = 1+ cosx
bsenx = 1 - cosx
Multiplicando membro a membro, vem:
absen²x = (1 + cosx)(1 - cosx)
absen²x = 1² - cos²x = 1 - cos²x
Mas. 1 - cos²x = sen²x
Logo,
ab.sen²x = sen²x e, como x é um arco não nulo, e portanto senx ¹ 0 , dividindo ambos os membros por sen²x, vem imediatamente 
que ab = 1.
Resposta: 1

9 - Seja x um arco trigonométrico tal que sen2x + sen6x - 2 sen4x = 0, pede-se determinar o valor da expressão Y = 10sen4x + 8cos2x.

Solução:

Sabemos que:
sen p + sen q = 2. sen[(p+q)/2].cos[(p-q)/2]
Revise Trigonometria AQUI. Para retornar, CLIQUE em VOLTAR no seu browser.
Portanto,
sen2x + sen6x = sen6x + sen2x =2.sen4x.cos2x
Substituindo, fica:
2sen4x.cos2x - 2sen4x = 0
Colocando sen4x em evidencia, vem:
sen4x(2cos2x - 1) = 0
Portanto,
sen4x = 0 ou 2cos2x - 1 = 0
Daí,
sen4x = 0 ou cos2x = 1 /2
Portanto,
Y = 10.0 + 8(1/2) = 0 + 4 = 4.
Resposta: 4

10 - O seno de um ângulo agudo de medida x, é o dobro do seno de um outro ângulo y. Nestas condições, pede-se determinar entre que limites está compreendido o ângulo y.

Solução:

Temos: senx = 2seny
Logo, como o seno de um ângulo agudo (ângulo entre 0 e 90º) situa-se necessariamente no intervalo real de 0 a 1, vem:
0 £ 2seny £ 1
Então, dividindo tudo por 2, vem:
0 £ seny £ 1 /2
Mas, 1 /2 = sen30º e 0 = sen0º.
Logo,
sen0º £ seny £ sen30º
Conclui-se pois, que 0º £ y £ 30º, ou seja, y está situado no intervalo [0º, 30º].
Resposta: 0º £ y £ 30º 

Paulo Marques, 25 de outubro de 1999 - Feira de Santana - BA.

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