Uma certa derivada

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Determine a derivada da função y = x^x

Nota: Recomendamos visitar a página Cálculo Infinitesimal.

SOLUÇÃO:

Parte I : Vamos inicialmente determinar uma fórmula geral para o cálculo da derivada da função y = u^v, onde
u e v são funções de x, ou seja: u = u(x) e v = v(x).
Aplicando logaritmo neperiano em ambos os membros, vem:
ln y = ln u^v = v.ln u

Derivando ambos os membros, vem:
(ln y)' = (v . ln u)' = v'. ln u + v . (ln u)'
y' / y = v'.ln u + v . u'/ u

Portanto, y'= y(v'. ln u + v.u' /u)

Como y = u^v, substituindo, vem:
y' =u^v[v'.lnu +v.u'/ u]

Simplificando, fica:
y'= u^v. v'. ln u + u^v-1 . v . u'

Portanto:
A derivada da função y = u^v é y' = v . u^v-1 . u' + u^v . v' . ln u

Parte II: Vamos agora finalmente, calcular a derivada da função y = x^x
Fazendo u = x e v = x na função y = u^v , concluímos imediatamente que:
y' = x . x ^{x - 1} . x' + x^x . x' . ln x
Lembrando que a derivada de x em relação a x, ou seja, x' é igual a 1, vem finalmente:
y' = dy/dx = x^x + x^x . lnx = x^x(1 + lnx)

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - agosto 2000 - revisado em 03/02/2003

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