Um número de três algarismos

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Um número n de 3 algarismos, dividido por 2, 3, 5 ou 7 deixa resto 1. Sendo m o número de valores possíveis de n, podemos afirmar que m é igual a:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 28

SOLUÇÃO:
Sendo n o número procurado, teremos:

n dividido por 2 deixa resto 1
n dividido por 3 deixa resto 1
n dividido por 3 deixa resto 1
n dividido por 7 deixa resto 1

Sabemos que: DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO, ou em termos simbólicos:
D = dq + r

Podemos escrever:
n = 2q + 1 onde q Î N (conjunto dos números naturais).
Concluimos que n – 1 = 2q e, portanto n –1 é múltiplo de 2.

Analogamente, n = 3q’ + 1 de onde deduzimos que n – 1 = 3q’ onde q’ é um número natural.
Logo, n – 1 é múltiplo de 3.

Pelo mesmo raciocínio, n – 1 é múltiplo de 5 e, também de 7.

Ora, se n – 1 é múltiplo de 2, de 3, de 5 e de 7, será também múltiplo do produto 2.3.5.7, ou seja
n – 1 é múltiplo de 210.

Portanto, podemos escrever:
n – 1 = 210.k onde k é um número inteiro.

Daí, vem: n = 210k + 1

Como o número possui 3 algarismos, conforme o enunciado, deduzimos imediatamente que k = 1 ou k =2 ou k =3 ou k = 4, já que para k = 5 o número teria 4 algarismos, ou seja n = 210.5 + 1 = 1051.

Teremos então:

k = 1 Þ n = 210.1 + 1 = 211
k = 2 Þ n = 210.2 + 1 = 421
k = 3 Þ n = 210.3 + 1 = 631
k = 4 Þ n = 210.4 + 1 = 841

Portanto, existem 4 soluções para o problema proposto, o que nos leva tranqüilamente à alternativa A.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 07 de setembro de 2001

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