Considerações simples sobre uma identidade importante

Diz-se que a igualdade F(x) = G(x) é uma IDENTIDADE, se ela é válida para qualquer valor de x  que não fira as operações matemáticas permissíveis. Por exemplo, a igualdade (x+1)2 = x2 + 2x + 1 é uma IDENTIDADE para qualquer valor de x. A igualdade 2(x + 1) = 2x + 2 é também uma IDENTIDADE para qualquer valor de x.  
Já a igualdade (x2 -1) / (x + 1) = x - 1, é uma IDENTIDADE apenas para todo x diferente de -1, pois para x = -1, teríamos o quociente 0/0 que é uma indeterminação matemática. 

Vamos iniciar, propondo o desenvolvimento da seguinte divisão, para x ¹ 1:

Nota: a condição x ¹ 1, decorre do fato de que se x = 1, x - 1 = 0 e, como sabemos, não existe divisão por zero.

Podemos imaginar o número 1, como um polinômio, no caso, um monômio M(x) = x0 = 1, e o denominador como o binômio  
B(x) = x0 – x1 = 1 - x. 

Percebemos que estes polinômios estão ordenados segundo as potências crescentes de x.
Interpretando o numerador e o denominador da expressão dada como polinômios, podemos efetuar a divisão indicada, usando o método das divisões sucessivas, também conhecida como método da chave, ou mais precisamente, como Algoritmo de Euclides.

Nota: entende-se como algoritmo,  uma sequencia lógica de procedimentos, ou um conjunto de regras de operação, cuja aplicação permite resolver um problema dado.

Antes de efetuar a divisão indicada no início do texto, vamos  relembrar o algoritmo de Euclides, através de um exemplo:

Seja dividir o polinômio A(x) = x3 - 4x2 + 1 pelo polinômio B(x) = x2 - 1:
Nota: observe que A(x) = x3 - 4x2 + 1 =  x3 - 4x2 + 0x + 1 e B(x) = x2 + 0x - 1

Teremos:

Passos para entender o dispositivo acima:

1 - Divida x3 por x2, obtendo x3/x2 = x
2 - Multiplique x por x2 - 1, obtendo x(x2 -1) = x3 - x, tendo o cuidado de colocar as potências de mesmo expoente, alinhadas.
3 - Efetue a subtração indicada na figura acima por \ , obtendo -4x2 + x + 1
4 - Repita o item (1), dividindo o resultado do item (3) por x2, obtendo -4.
5 - Multiplique -4 por x2 - 1, obtendo -4x2 + 4
6 - Efetue a subtração, como no item (3), obtendo x -3.
7 - Como x - 3 possui grau 1, inferior ao grau do polinômio divisor x2 -1, que possui grau 2, encerra-se a operação.

Temos então que o quociente é o polinômio Q(x) = x - 4 e o resto é o polinômio R(x) = x - 3.

Retornando ao problema proposto, teremos:

Nota: desejamos efetuar a divisão 1/(1 - x). O numerador 1 pode ser escrito como o polinômio  1 + 0x + 0x2 + ... + 0xn 
Observe que escrever o número 1 como o polinômio 1 + 0x + 0x2 + ... + 0xn  facilita muito a visualização do algoritmo de Euclides conforme indicado abaixo:

Então, a divisão proposta 1/(1-x), tem como resultado:
Quociente = Q(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn  e  Resto = R(x) = xn+1

Ora, se considerarmos um polinômio A dividido por um polinômio B, tendo como resultado um polinômio Q e resto R, poderemos escrever:
A = B.Q + R
Então,  lembrando que:
Dividendo = 1
Divisor = 1 - x
Quociente: 1 + x + x2 + x3 + ... + xn
Resto: xn+1
poderemos escrever:

1 = (1 - x) . (1 + x + x2 + x3 + ... + xn ) + xn+1
Nota: a igualdade acima é fundamentada na propriedade (dividendo = divisor x quociente + resto), nossa velha conhecida propriedade da divisão dos números naturais. 

Poderemos escrever da igualdade anterior:
1 – xn+1 = (1 – x).(1 + x + x2 + x3 + ... + xn)  para x  ¹ 1.

Fazendo n+1 = p, teremos n = p - 1 e a identidade pode também ser reescrita na forma equivalente:
 1 – xp = (1 – x).(1 + x + x2 + x3 + ... + xp-1)  para x  ¹ 1.
Multiplicando ambos os membros por -1, o que não altera a igualdade, poderemos reescrevê-la também como:
 xp - 1= (x – 1).(1 + x + x2 + x3 + ... + xp-1)  para x  ¹ 1.

Assim, poderemos obter fórmulas muito importantes, a saber, simplesmente atribuindo valores a  n . 

Se n = 1, então: 1 - x2 = (1 - x)(1 + x)
Se n = 2, então: 1 - x3 = (1 -x)(1 + x + x2)
Se n = 3, então: 1 - x4 = (1 - x)(1 + x + x2 + x3)
e assim, sucessivamente.

Ou também,
 Se n = 1, então: x2 - 1 = (x - 1)(x +1)
Se n = 2, então: x3 - 1 = (x - 1)(1 + x + x2)
Se n = 3, então: x4 -1 = (x - 1)(1 + x + x2 + x3)

Por exemplo:
1 - x7 = (1 - x)(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)

x7 -1 = (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)

Esta é uma forma muito tranquila, para fatorar 1 - xn  ou xn - 1 como pudemos observar nos exemplos acima.

Exercícios propostos:  

1 - Fatorar o polinômio  P(x) = 1 – x8 
Resposta: P(x) = (1 – x) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7)

2 - Fatorar o polinômio S(x) = 1 - x5 
Resposta: S(x) = (1 - x)(1 + x + x2 + x3 + x4)

3 - Qual o valor da expressão: E = -999.(1 + 103 + 106 + 109) + 1012 ?
Resposta: E = 1
Sugestão: aplique a identidade abaixo para n = 3, lembrando que -999 = 1 - 1000 = -999.
 1 = (1 - x) . (1 + x + x2 + x3 + ... + xn ) + xn+1

Veja AQUI um problema interessante que necessita do conhecimento desta identidade.

Paulo Marques,  Feira de Santana - BA -  18/04/2008 - editado em 30/07/2011..

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